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ŒUVRES
DE POURII
PUBUBES PAR LES SOO'S DE
M. GASTON DARBOUX,
SOfJS LES AUSPICES DU
MINISTÈRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE
TOME PREMIER.
THÉORIE ANALTTIQOE DE LA CHAI.BUR.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHM
Quai des Grand s- Augua lins, 53.
, MDCCCLXXXVIII
ŒUVRES
DE FOURIER
, I
PARIS. - IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS ET FILS.
Quai des Grands- A iicuittns, 53.
ŒUVRES
DE FOURIER
■l'BUKEa P.tR LES SOI.NS W.
M. GASTON DARBOIIX,
MINISTERE DE L'INSTRUCTION PI'BIjyUE.
TOME PREMIER.
THËOnlE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR.
PARIS,
(iAUTHIER-VILLARS ET FILS. IMPRIMEUKS-LIBKAIKES
DU nt'REAi; DES LONGITUDES, DE I.'É<:0LK P O L Y T E C II S I 0 U E,
Quai dos Grands-Augusltns, 55.
HDCCCLXXXVIII
^^^'îtvy^ B^O . (f
NOV
1911
-1
• t
AVANT-PROPOS.
L'édition des Œuvres de Fourier, dont nous publions
aujourd'hui le premier Volume, était réclamée depuis long-
temps par les physiciens et les géomètres; entreprise avec
l'appui bienveillant du Ministère de l'Instruction publique,
elle prendra place dans la collection des Documents inédits, à
côté des Œuvres de Laplace, de Lagrange, de Lavoisier, de
Fresnel et de Cauchy. Par l'importance de ses découvertes,
par l'influence décisive qu'il a exercée sur le développement
de la Physique mathématique, Fourier méritait l'hommage qui
est rendu aujourd'hui à ses travaux et à sa mémoire. Son nom
figurera dignement à côté des noms, illustres entre tous, dont
la liste, destinée à s'accroître avec les années, constitue dès à
présent un véritable titre d'honneur pour notre pays.
La Théorie analytique de la Chaleur, qui forme à elle seule
ce premier Volume, a paru en 1822. Ce bel Ouvrage, que
l'on peut placer sans injustice à côté des écrits scientifiques les
plus parfaits de tous les temps, se recommande par une expo-
sition intéressante et originale des principes fondamentaux;
M AVANT-PROPOS.
il éclaire de la lumière la plus vive et la plus pénétrante toutes
les idées essentielles que nous devons à Fourier et sur lesquelles
doit reposer désormais la Philosophie naturelle; mais il con-
tient, nous devons le reconnaître, beaucoup de négligences,
des erreurs de calcul et de détail que Fourier a su éviter dans
d'autres écrits. Guidé par les conseils de notre éminent édi-
teur, M. Gauthier- Villars, nous nous sommes appliqué à
faire disparaître les incorrections typographiques. Nous avons
refait les calculs, corrigé avec le plus grand soin les renvois
inexacts, les erreurs de notation et d'impression, mais en nous
attachant toujours à respecter la forme si élégante et si pure
que Fourier donne habituellement à sa pensée. Un membre
distingué de l'Enseignement supérieur, M. Paul Morin, pro-
fesseur à la Faculté des Sciences de Rennes, nous a beaucoup
aidé dans cette partie essentielle de notre tâche : nous nous
plaisons à lui adresser ici nos plus vifs remerciements. M. Morin
veut bien nous continuer son concours pour le second Volume,
dont l'impression est déjà commencée.
Les recherches de Fourier relatives à la théorie de la cha-
leur remontent à la fin du xviii^ siècle; elles ont été commu-
niquées à l'Académie des Sciences le 2 1 décembre 1 807. Cette
première publication ne nous est pas parvenue ; on ne la con-
naît que par un extrait de quatre pages inséré en 1808 au
Bulletin de la Société philomathique ; elle a été lue et déposée,
mais a, sans doute, été retirée par Fourier dans le courant de
l'année 1810.
AVANT-PROPOS. » vu
L'Académie ayant mis au concours, pour i8i i , la question
suivante :
ce Donner la théorie mathématique des lois de la propaga-
» tion de la chaleur et comparer le résultat de cette théorie à
» des expériences exactes »,
Fourier envoya, le 28 septembre 181 1 , un travail très étendu,
formé, d'après ses propres déclarations, du Mémoire primi-
tivement soumis à l'Académie et des notes qu'il y avait suc-
cessivement ajoutées. Ce nouveau travail fut couronné dans
la séance publique du 6 janvier 1812. Les juges du concours
étaient Lagrange, Laplace, Malus, Haîiy et Legendre. Leur
Rapport nous a été conservé. Toutes les appréciations, sauf
une peut-être, y sont d'une rigoureuse exactitude, et, cepen-
dant, il est permis de penser que, dans son ensemble, il ne
rend pas pleine justice aux efforts et aux découvertes de Fou-
rier.
a Cette pièce, dit le Rapporteur en parlant du Mémoire de
» Fourier, renferme les véritables équations différentielles de
» la transmission de la chaleur, soit à l'intérieur des corps,
» soit à leur surface ; et la nouveauté du sujet, jointe à son
» importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage,
» en observant cependant que la manière dont l'Auteur par-
» vient à ses équations n'est pas exempte de difficultés, et que
» son analyse, pour les intégrer, laisse encore quelque chose
VIII AVANT-PROPOS.
a à désirer, soit relativement à la généralité, soit même du
■
M côté de la rigueur. »
Le manuscrit de Fourier fait partie, aujourd'hui encore, des
Archives deTAcadémie. Le grand géomètre, devenu Secrétaire
perpétuel après la mort de Delambre, l'avait imprimer, sans
y apporter aucun changement, dans les Volumes de Mémoires
pour 1 819-1820 et 1 821-1822, deux ans après la publication
de la Théorie de la Chaleur. Fourier désirait, sans doute, éta-
blir ainsi d'une manière incontestable ses droits de priorité ;
car ia première Partie du Mémoire de 1811, celle qui a paru
dans le Volume pour 181 9-1820, ne diffère qu'en des points
tout à fait secondaires de la rédaction définitive à laquelle il
s'est arrêté dans la Théorie de la Clialeur. Nous avons donc
renoncé à reproduire cette première Partie; mais la seconde,
qui a été imprimée en 1826, dans le Volume des Mémoires
pour 1821-1822, offre le plus vif intérêt; elle commencera
notre second Volume et sera, croyons-nous, bien accueillie
de tous.
Il y a aujourd'hui quatre-vingts ans que Fourier fit à l'Aca-
démie des Sciences sa première Communication sur les études
qui ont occupé toute sa vie. Les méthodes dont l'illustre
savant a enrichi la Science trouvent maintenant devant elles
un champ vaste et presque inexploré d'applications nouvelles
dans la théorie moderne de l'électricité. Puisse notre édition
les répandre encore, puisse-t-elle maintenir et accroître dans
AVANT-PROPOS. ix
notre pays et parmi nos jeunes géomètres le goût de la Phy-.
sîque mathématique. « L'étude approfondie de la nature est
la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non
seulement cette étude, en offrant aux recherches un but dé-
terminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les cal-
culs sans issue, elle est encore un moyen assuré de former
l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous
importe le plus de connaître et que cette science doit toujours
conserver : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se repro-
duisent dans tous les effets naturels. » C'est par ces réflexions,
empruntées à l'admirable Discours préliminaire que l'on va
lire, que nous terminerons ces quelques lignes dans lesquelles
nous nous proposions surtout de remercier tous ceux qui ont
pris part à notre publication ou qui l'ont rendue possible.
21 décembre 1887.
Gaston DARBOUX,
de rAcadémie des Science».
F.
THÉORIE ANALYTIQUE
l)K
LA CHALEUR
_S t
DEUXIEME EDITION
THEORIE
ANALYTIQUE
DE LA CHALEUR,
Par m. FOURIER.
A PARIS,
CHEZ FIRMIN DIDOT, PÈRE ET FILS,
LIBRAIRES POUR LES MATHÉMATIQUES, l'arcHITECTURE HTDRADLIQOE
ET LA MARI»E, RUE JACOB, n" a4
DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
Les causes primordiales ne nous soiit point connues, noais elles sont
assujetties à des lois simples et constantes que l'on peut découvrir par
Tobscrvation, et dont l'étude est l'objet de la Philosophie naturelle.
La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l'uni-
vers; ses rayons occupent toutes les parties de l'espace. Le but de
notre Ouvrage est d'exposer les lois mathématiques que suit cet élé-
ment. Cette théorie formera désormais une des branches les plus im-
portantes de la Physique générale.
Les connaissances que les plus anciens peuples avaient pu acquérir
dans la Mécanique rationnelle ne nous sont point parvenues, et l'his-
toire de cette science, si l'on excepte les premiers théorèmes sur l'har-
monie, ne remonte point au delà des découvertes d'Archimède. Ce
grand géomètre expliqua les principes mathématiques de l'équilibre
des solides et des fluides. Il s'écoula environ dix-huit siècles avant que
Galilée, premier inventeur des théories dynamiques, découvrît les lois
du mouvement des corps graves. Newton embrassa dans cette science
nouvelle tout le système de l'univers. Les successeurs de ces philoso-
phes ont donné à ces théories une étendue et une perfection admira-
bles; ils nous ont appris que les phénomènes les plus divers sont
soumis à un petit nombre de lois fondamentales, qui se reproduisent
dans tous les actes de la nature. On a reconnu que les mêmes prin-
cipes règlent tous les mouvements des astres, leur forme, les inégalités
XVI DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
de leurs cours, Téquilibre et les oscillations des mers, les vibrations
harmoniques de Tair et des corps sonores, la transmission de la
lumière, les actions capillaires, les ondulations des liquides, enfin, les
effets les plus composés de toutes les forces naturelles; et Ton a con-
firmé cette pensée de Newton : Quod tant paucis tam multa prœstet Geo-
î7ietria gloriatur (*).
Mais, quelle que soit Tétendue des théories mécaniques, elles ne
s'appliquent point aux effets de la chaleur. Ils composent un ordre spé-
cial de phénomènes qui ne peuvent s'expliquer par les principes du
mouvement et de l'équilibre. On possède depuis longtemps des instru-
ments ingénieux propres à mesurer plusieurs de ces effets; on a
recueilli des observations précieuses; mais on ne connaît ainsi que des
résultats partiels, et non la démonstration mathématique des lois qui
les comprennent tous.
J'ai déduit ces lois d'une longue étude et de la comparaison atten-
tive des faits connus jusqu'à ce jour; je les ai tous observés de nouveau,
dans le cours de plusieurs années, avec les instruments les plus précis
dont on ait encore fait usage.
Pour fonder cette théorie, il était d'abord nécessaire de distinguer
et de définir avec précision les propriétés élémentaires qui détermi-
nent l'action de la chaleur. J'ai reconnu ensuite que tous les phéno-
mènes qui dépendent de cette action se résolvent en un très petit
nombre de faits généraux et simples; et, par là, toute question phy-
sique de ce genre est ramenée à une recherche d'Analyse mathéma-
tique. J'en ai conclu que, pour déterminer en nombre les mouvements
les plus variés de la chaleur, il sufQt de soumettre chaque substance à
trois observations fondamentales. En effet, les différents corps ne pos-
(») Philosophiœ naturalis principia mathematica. Prœfatio ad lectorem, Ac glorialur
Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa praeslel. G. D.
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xvii
sèdent point au même degré la faculté de contenir la chaleur, de la
recevoir ou de la transmettre à travers leur superficie, et de la conduire
dans l'intérieur de la masse. Ce sont trois qualités spécifiques que
notre théorie distingue clairement et qu'elle apprend à mesurer.
Il est facile de juger combien ces recherches intéressent les sciences
physiques et l'économie civile, et quelle peut être leur influence sur
les progrès des arts qui exigent l'emploi et la distribution du feu. Elles
ont aussi une relation nécessaire avec le Système du monde, et l'on
connaît ces rapports si l'on considère les grands phénomènes qui s'ac-
complissent près de la surface du globe terrestre.
En effet, le rayon du Soleil dans lequel cette planète est incessam-
ment plongée pénètre l'air, la terre et les eaux; ses éléments se di-
visent, changent de directions dans tous les sens; et, pénétrant dans
la masse du globe, ils en élèveraient de plus en plus la température
moyenne, si cette chaleur ajoutée n'était pas exactement compensée
par celle qui s'échappe en rayons de tous les points de la superficie, et
se répand dans les cieux.
Les divers climats, inégalement exposés à l'action de la chaleur
solaire, ont acquis, après un temps immense, des températures propres
à leur situation. Cet effet est modifié par plusieurs causes accessoires,
telles que l'élévation et la figure du sol, le voisinage et l'étendue des
continents et des mers, l'état de la surface, la direction des vents.
«
L'intermittence des jours et des nuits, les alternatives des saisons
occasionnent, dans la terre solide, des variations périodiques qui se
renouvellent chaque jour ou chaque année; mais ces changements sont
d'autant moins sensibles que le point où on les mesure est plus distant
de la surface. On ne peut remarquer aucune variation diurne à la pro-
fondeur d'environ 3™; et les variations annuelles cessent d'être appré-
ciables à une profondeur beaucoup moindre que 60™. La température
F.
c
XVIII DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
des lieux profonds est donc sensiblement fixe dans un lieu donné ;
mais elle n'est pas la même pour tous les points d'un même parallèle;
en général, elle s'élève lorsqu'on s'approche de Téquateur.
La chaleur que le Soleil a communiquée au globe terrestre, et qui a
produit la diversité des climats, est assujettie maintenant à un mouve-
ment devenu uniforme. Elle s'avance dans l'intérieur de la masse
qu'elle pénètre tout entière, et en même temps elle s'éloigne du plan de
Téquateur, et va se perdre dans l'espace à travers les contrées polaires.
Dans les hautes régions de l'atmosphère, l'air, très rare et diaphane,
ne retient qu'une faible partie de la chaleur des rayons solaires : c'est
la cause principale du froid excessif des lieux élevés. Les couches infé-
rieures, plus denses et plus échauffées par la terre et les eaux, se di-
latent et s'élèvent; elles se refroidissent par l'effet même de la dila-
tation. Les grands mouvements de l'air, comme les vents alizés qui
soufflent entre les tropiques, ne sont point déterminés par les forces
attractives de la Lune et du Soleil. L'action de ces astres ne produit
sur un fluide aussi rare, à une aussi grande distance, que des oscilla-
tions très peu sensibles. Ce sont les changements des températures qui
déplacent périodiquement toutes les parties de l'atmosphère.
Les eaux de l'Océan sont différemment exposées par leur surface aux
rayons du Soleil, et le fond du bassin qui les renferme est échauffé très
inégalement depuis les pôles jusqu'à l'équateur. Ces deux causes,
toujours présentes, et combinées avec la gravité et la force centrifuge,
entretiennent des mouvements immenses dans l'intérieur des mers.
Elles en déplacent et en mêlent toutes les parties, et produisent ces
courants réguliers et généraux que les navigateurs ont observés.
La chaleur rayonnante qui s'échappe de la superficie de tous les
corps et traverse les milieux élastiques ou les espaces vides d'air a des
lois spéciales, et elle concourt aux phénomènes les plus variés. On
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xix
connaissait déjà l'explication physique de plusieurs de ces faits; la
théorie mathématique que j'ai formée en donne la mesure exacte. Elle
consiste, en quelque sorte, dans une seconde catoptrique, qui a ses
théorèmes propres, et sert à déterminer par le calcul tous les effets
de la chaleur directe ou réfléchie.
Cette énumération des objets principaux de la théorie fait assez con-
naître la nature des questions que je me suis proposées. Quelles sont
ces qualités élémentaires que, dans chaque substance, il est nécessaire
d'observer, et. quelles expériences sont les plus propres à les déter-
miner exactement? Si des lois constantes règlent la distribution de la
chaleur dans la matière solide, quelle est l'expression mathématique
de ces lois? et par quelle analyse peut-on déduire de cette expression
la solution complète des questions principales?
Pourquoi les températures terrestres cessent-elles d'être variables à
une profondeur si petite par rapport au rayon du globe? Chaque iné*
galité du mouvement de cette planète devant occasionner au-dessous
de la surface une oscillation de la chaleur solaire, quelle relation y
a-t-il entre la durée de la période et la profondeur où les températures
deviennent constantes?
Quel temps a dû s'écouler pour que les climats pussent acquérir les
températures diverses qu'ils conservent aujourd'hui; et quelles causes
peuvent faire varier maintenant leur chaleur moyenne? Pourquoi les
seuls changements annuels de la distance du Soleil à la Terre ne cau-
sent-ils pas à la surface de cette planète des changements très consi-
dérables dans les températures?
A quel caractère pourrait-on reconnaître que le globe terrestre n'a
pas entièrement perdu sa chaleur d'origine, et quelles sont les lois
exactes de la déperdition?
Si cette chaleur fondamentale n'est point totalement dissipée.
XX DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
comme l'indiquent plusieurs observations, elle peut être immense a
de grandes profondeurs, et toutefois elle n'a plus aujourd'hui aucune
influence sensible sur la température moyenne des climats : les effets
que l'on y observe sont dus à l'action des rayons solaires. Mais, indé-
pendamment de ces deux sources de chaleur, l'une fondamentale et
primitive, propre au globe terrestre, l'autre due à la présence du So-
leil, n'y a-t-il point une cause plus universelle, qui détermine la tempé-
rature du ciel, dans la partie de l'espace qu'occupe maintenant le sys-
tème solaire? Puisque les faits observés rendent cette cause nécessaire,
quelles sont, dans cette question entièrement nouvelle, les consé-
quences d'une théorie exacte? comment pourra-t-on déterminer cette
valeur constante de la température de l'espace, et en déduire celle qui
convient à chaque planète?
Il faut ajouter à ces questions celles qui dépendent des propriétés de
la chaleur rayonnante. On connaît très distinctement la cause physique
de la réflexion du froid, c'est-à-dire de la réflexion d'une moindre cha-
leur; mais quelle est l'expression mathématique de cet eflet?
De quels principes généraux dépendent les températures atmo-
sphériques, soit que le thermomètre qui les mesure reçoive immédia-
tement les rayons du Soleil, sur une surface métallique ou dépolie,
soit que cet instrument demeure exposé, durant la nuit, sous un ciel
exempt de nuages, au contact de l'air, au rayonnement des corps ter-
restres, et à celui des parties de l'atmosphère les plus éloignées et les
plus froides.
L'intensité des rayons qui s'échappent d'un point de la superficie
des corps échaufl'és variant avec leur inclinaison suivant une loi que
les expériences ont indiquée, n'y a-t-il pas un rapport mathématique
nécessaire entre cette loi et le fait général de l'équilibre de la chaleur;
et quelle est la cause physique de cette inégale intensité?
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxi
Enfin, lorsque la chaleur pénètre les masses fluides et y détermine
des mouvements intérieurs, par les changements continuels de tempé-
rature et de densité de chaque molécule, peut-on encore exprimer par
des équations différentielles les lois d'un effet aussi composé; et quel
changement en résulte-t-il dans les équations générales de l'Hydro-
dynamique?
Telles sont les questions principales que j'ai résolues, et qui
n'avaient point encore été soumises au calcul. Si l'on considère, de
plus, les rapports multipliés de cette théorie mathématique avec les
usages civils et les arts techniques, on reconnaîtra toute l'étendue de
ses applications. Il est manifeste qu'elle comprend une série entière
de phénomènes distincts, et qu'on ne pourrait en omettre l'étude sans
retrancher une partie notable de la science de la nature.
Les principes de cette théorie sont déduits, comme ceux de la Méca-
nique rationnelle, d'un très petit nombre de faits primordiaux, dont
les géomètres ne considèrent point la cause, mais qu'ils admettent
comme résultant des observations communes et confirmées par toutes
les expériences.
Les équations différentielles de la propagation de la chaleur expriment
les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques
à des problèmes d'Analyse pure, ce qui est proprement l'objet de la
théorie. Elles ne sont pas moins rigoureusement démontrées que les
équations générales de l'écjuilibre et du mouvement. C'est pour rendre
cette comparaison plus sensible que nous avons toujours préféré des
démonstrations analogues a celles des théorèmes qui servent de fon-
dement à la Statique et à la Dynamique. Ces équations subsistent
encore, mais elles reçoivent une forme différente, si elles expriment la
distribution de la chaleur lumineuse dans les corps diaphanes, ou les
mouvements que les changements de température et de densité occa-
XXII DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
sionnent dans l'intérieur des fluides. Les coefficients qu'elles ren*
ferment sont sujets à des variations dont la mesure exacte n'est pas
encore connue; mais, dans toutes les questions naturelles qu'il nous
importe le plus de considérer, les limites des températures sont assez
peu différentes pour que l'on puisse omettre ces variations des coeffi-
cients.
Les équations du mouvement de la chaleur, comme celles qui
expriment les vibrations des corps sonores, ou les dernières oscilla-
tions des liquides, appartiennent à une des branches de la Science du
calcul les plus récemment découvertes, et qu'il importait beaucoup de
perfectionner. Âpres avoir établi ces équations différentielles, il fallait
en obtenir les intégrales; ce qui consiste à passer d'une expression
commune à une solution propre, assujettie à toutes les conditions don-
nées. Cette recherche difficile exigeait une analyse spéciale, fondée
sur des théorèmes nouveaux dont nous ne pourrions ici faire connaître
l'objet. La méthode qui en dérive ne laisse rien de vague et d'indéter-
miné dans les solutions; elle les conduit jusqu'aux dernières applica-
tions numériques, condition nécessaire de toute recherche, et sans
laquelle on n'arriverait qu'à des transformations inutiles.
Ces mêmes théorèmes qui nous ont fait connaître les intégrales des
équations du mouvement de la chaleur s'appliquent immédiatement à
des questions d'Analyse générale et de Dynamique dont on désirait
depuis longtemps la solution.
L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des
découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant
aux recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions
vagues et les calculs sans issue : elle est encore un moyen assuré de
former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous
importe le plus de connaître» et que cette science doit toujours con-
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxiii
server : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans
tous les effets naturels.
On voit, par exemple, qu'une même expression, dont les géomètres
avaient considéré les propriétés abstraites et qui, sous ce rapport,
appartient à l'Analyse générale, représente aussi le mouvement de la
lumière dans Tatmosphère, qu'elle détermine les lois de la diffusion de
la chaleur dans la matière solide, et qu'elle entre dans toutes les ques-
tions principales de la Théorie des probabilités.
Les équations analytiques, ignorées des anciens géomètres, que
Descartes a introduites le premier dans l'étude des courbes et des
surfaces, ne sont pas restreintes aux propriétés des figures et à celles
. qui sont l'objet de la Mécanique rationnelle; elles s'étendent à tous
les phénomènes généraux. Il ne peut y avoir de langage plus universel
et plus simple, plus exempt d'erreurs et d'obscurités, c'est-à-dire plus
digne d'exprimer les rapports invariables des êtres naturels.
Considérée sous ce point de vue, l'Analyse mathématique est aussi
étendue que la nature elle-même; elle définit tous les rapports sen-
sibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures;
cette science difficile se forme avec lenteur, mais elle conserve tous
les principes qu'elle a une fois acquis; elle s'accroit et s'affermit sans
cesse, au milieu de tant de variations et d'erreurs de l'esprit humain.
Son attribut principal est la clarté; elle n'a point de signes pour
exprimer les notions confuses. Elle rapproche les phénomènes les plus
divers et découvre les analogies secrètes qui les unissent. Si la matière
nous échappe, comme celle de l'air et de la lumière, par son extrême
ténuité, si les corps sont placés loin de nous, dans l'immensité de l'es-
pace, si l'homme veut connaître le spectacle des cieux pour des époques
successives que séparent un grand nombre de siècles, si les actions de
la gravité et de la chaleur s'exercent dans l'intérieur du globe solide à
XXIV DISCOURS PRELIMINAIRE.
des profondeurs qui seront toujours inaccessibles, l'Analyse mathé-
matique peut encore saisir les lois de ces phénomènes. Elle nous les
rend présents et mesurables, et semble être une faculté de la raison
humaine destinée a suppléer à la brièveté de la vie et à Timperfection
des sens; et, ce qui est plus remarquable encore, elle suit la même
marche dans Tétude de tous les phénomènes; elle les interprète par le
même langage, comme pour attester Tunité et la simplicité du plan de
l'univers, et rendre encore plus manifeste cet ordre immuable qui pré-
side à toutes les causes naturelles.
Les questions de la Théorie de la chaleur oiTrent autant d'exemples
de ces dispositions simples et constantes qui naissent des lois géné-
rales de la nature; et, si l'ordre qui s'établit dans ces phénomènes pou-
vait être saisi par nos sens, ils nous causeraient une impression com-
parable à celles des résonances harmoniques.
Les formes des corps sont variées à l'infini; la distribution de la
chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; mais toutes les
inégalités s'eflacent rapidement et disparaissent à mesure que le temps
s'écoule. La marche du phénomène, devenue plus régulière et plus
simple, demeure enfin assujettie à une loi déterminée, qui est la même
pour tous les cas et qui ne porte plus aucune empreinte sensible de
la disposition initiale.
Toutes les observations confirment ces conséquences. L'analyse dont
elles dérivent sépare et exprime clairement : i® les conditions géné-
rales, c'est-à-dire celles qui résultent des propriétés naturelles de la
chaleur; 2** l'effet accidentel, mais subsistant, de la figure ou de l'état
des surfaces; 3^ l'efiet non durable de la distribution primitive.
Nous avons démontré dans cet Ouvrage tous les principes de la
Théorie de la chaleur, et résolu toutes les questions fondamentales.
On aurait pu les exposer sous une forme plus concise, omettre les
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxv
questions simples, et présenter d'abord les conséquences les plus
générales; mais on a voulu montrer l'origine même de la Théorie et
ses progrès successifs. Lorsque cette connaissance est acquise, et que
les principes sont entièrement fixés, il est préférable d'employer immé-
diatement les méthodes analytiques les plus étendues, comme nous
l'avons fait dans les recherches ultérieures. C'est aussi la marche que
nous suivrons désormais dans les Mémoires qui seront joints à cet
Ouvrage, et qui en forment en quelque sorte le complément, et par là
nous aurons concilié, autant qu'il peut dépendre de nous, le dévelop-
pement nécessaire des principes avec la précision qui convient aux
applications de l'Analyse.
Ces Mémoires auront pour objet la théorie de la chaleur rayonnante,
la question des températures terrestres, celle de la température des
habitations, la comparaison des résultats théoriques avec ceux que nous
avons observés dans diverses expériences, enfin la démonstration des
équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les fluides.
L'Ouvrage que nous publions aujourd'hui a été écrit depuis long-
temps; diverses circonstances en ont retardé et souvent interrompu
l'impression. Dans cet intervalle, la Science s'est enrichie d'observa-
tions importantes; les principes de notre Analyse, que l'on n'avait pas
saisis d'abord, ont été mieux connus; on a discuté et confirmé les
résultats que nous en avions déduits. Nous avons appliqué nous-
méme ces principes à des questions nouvelles, et changé la forme de
quelques démonstrations. Les retards de la publication auront contri-
bué à rendre l'Ouvrage plus clair et plus complet.
Nos premières recherches analytiques sur la communication de la
chaleur ont eu pour objet la distribution entre des masses disjointes ;
on les a conservées dans la Section II du Chapitre IV. Les questions
relatives aux corps continus, qui forment la théorie proprement dite,
F. d
XXVI DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
ont été résolues plusieurs années après; cette théorie a été exposée,
pour la première fois, dans un Ouvrage manuscrit remis à Tlnstitut de
France à la fin de l'année 1807, et dont il a été publié un extrait dans le
Bulletin des Sciences (Société philomathique, année 1808, p, 1 12-1 iG).
Nous avons joint à ce Mémoire et remis successivement des Notes assez
étendues, concernant la convergence des séries, la diffusion de la cha-
leur dans un prisme infini, son émission dans les espaces vides d'air,
les constructions propres à rendre sensibles les théorèmes principaux,
et l'analyse du mouvement périodique à la surface du globe terrestre.
Notre second Mémoire sur la propagation de la chaleur a été déposé
aux Archives de l'Institut, le 28 septembre i8ii. Il est formé du pré-
cédent et des Notes déjà remises ; on y a omis des constructions géo-
métriques et des détails d'Analyse qui n'avaient pas un rapport néces-
saire avec la question physique, et l'on a ajouté l'équation générale
qui exprime l'état de la surface. Ce second Ouvrage a été livré k l'im-
pression dans le cours de 1821, pour être inséré dans la Collection de
l'Académie des Sciences. Il est imprimé sans aucun changement ni
addition; le texte est littéralement conforme au Manuscrit déposé, qui
fait partie des Archives de l'Institut.
On pourra trouver dans ce Mémoire et dans les écrits qui l'ont pré-
cédé un premier exposé des applications que ne contient pas notre
Ouvrage actuel; elles seront traitées dans les Mémoires subséquents
avec plus d'étendue, et, s'il nous est possible, avec plus de clarté. Les
résultats de notre travail concernant ces mêmes questions sont aussi
indiqués dans divers articles déjà rendus publics. L'extrait inséré dans
les Annales de Chimie et de Physique fait connaître l'ensemble de nos
recherches (t. III, p. 35o-376, année 1816). Nous avons publié dans
ces Annales deux Notes séparées, concernant la chaleur rayonnante
(t. IV, p. 128-145, année 1817, et t. VI, p. 259-3o3, année 1817).
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxvii
Divers autres articles du même Recueil présentent les résultats les
plus constants de la théorie et des observations; l'utilité etTétendue
des connaissances thermologiques ne pouvaient être mieux appréciées
que par les célèbres rédacteurs de ces Annales (*).
On trouvera dans le Bulletin des Sciences (Société philomathique,
année 1818, p. i-ii, et année 1820, p. 58-70) l'extrait d'un Mémoire sur
la température constante ou variable des habitations, et l'exposé des
principales conséquences de notre analyse des températures terrestres.
M. Alexandre de Humboldt, dont les recherches embrassent toutes
les grandes questions de la Philosophie naturelle, a considéré, sous un
point de vue nouveau et très important, les observations des tempéra-
tures propres aux divers climats : Mémoire sur les lignes isothermes
(^Société d'Arcueil, t. III, p. 4^2x602, année 1817); Mémoire sur la li-
mite inférieure des neiges perpétuelles (Annales de Chimie et de Physique ,
t. V, p. 102-112, année 1817, et t. XIV, p. 5-57, année 1820).
Quant aux équations différentielles du mouvement de la chaleur
dans les liquides, il en a été fait mention dans l'histoire annuelle de
l'Académie des Sciences. Cet extrait de notre Mémoire en montre
clairement l'objet et le principe (Analyse des travaux de l' Académie
des Sciences, par M. Delambre, année 1820) (^).
L'examen des forces répulsives queja chaleur produit, et qui déter-
minent les propriétés statiques des gaz, n'appartient pas au sujet ana-
lytique que nous avons considéré. Cette question, liée à la théorie de
la chaleur rayonnante, vient d'être traitée par l'illustre auteur de la
Mécanique céleste, à qui toutes les branches principales de l'Analyse
mathématique doivent des découvertes importantes (Connaissance des
Temps pour les années 1 824 ^^ J 825).
( * ) Gay-Lussac et Arago. G. D.
(*) Ce Mémoire a été imprimé en i833; il sera publié dans le Tome II. G. D.
xxviii DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
Les théories nouvelles expliquées dans notre Ouvrage sont réunies
pour toujours aux Sciences mathématiques et reposent comme elles
sur des fondements invariables; elles conserveront tous les éléments
qu'elles possèdent aujourd'hui, et elles acquerront continuellement
plus d'étendue. On perfectionnera les instruments et Ton multipliera
les expériences. L'analyse que nous avons formée sera déduite de mé-
thodes plus générales, c'est-à-dire plus simples et plus fécondes, com-
munes à plusieurs classes de phénomènes. On déterminera, pour les
substances solides ou liquides, pour les vapeurs et pour les gaz perma-
nents, toutes les qualités spécifiques relatives à la chaleur, et les varia-
tions des coefficients qui les expriment. On observera, dans les divers
lieux du globe, les températures du sol à diverses profondeurs, l'inten-
sité de la chaleur solaire et ses effets, ou constants ou variables, dans
l'atmosphère, dans l'Océan et les lacs; et l'on connaîtra cette tempé-
rature constante du Ciel, qui est propre aux régions planétaires. La
théorie elle-même dirigera toutes ces mesures et en assignera la pré-
cision. Elle ne peut faire désormais aucun progrès considérable qui
ne soit fondé sur ces expériences; car l'Analyse mathématique peut
déduire, des phénomènes généraux et simples, l'expression des lois
de la Nature; mais l'application spéciale de ces lois à des effets très
composés exige une longue suite d'observations exactes.
THÉORIE
DR
LA CHALEUR
Et ignem regunt numeri. Plato.
CHAPITRE I
INTRODUCTION.
SECTION I.
EXPOSITION DE L OBJET DE CET OUVRAGE.
1.
Les effets de la chaleur sont assujettis à des lois constantes que l'on
ne peut découvrir sans le secours de l'Analyse mathématique. La
Théorie que nous allons exposer a pour objet de démontrer ces lois;
elle réduit toutes les recherches physiques sur la propagation de la
chaleur à des questions de Calcul intégral dont les éléments sont
donnés par l'expérience. Aucun sujet n'a des rapports plus étendus
avec les progrès de l'industrie et ceux des sciences naturelles; car
l'action de la chaleur est toujours présente; elle pénètre tous les corps
et les espaces; elle influe sur les procédés des arts et concourt à tous
les phénomènes de l'univers.
Lorsque la chaleur est inégalement distribuée entre les différents
points d'une masse solide, elle tend à se mettre en équilibre et passe
lentement des parties plus échauffées dans celles qui le sont moins; en
F, i
2 THEORIE DE LA CHALEUR.
même temps elle se dissipe par la surface et se perd dans le milieu ou
dans le vide. Cette tendance à une distribution uniforme et cette émis-
sion spontanée qui s'opère à la surface des corps changent continuel-
lement la température des différents points. La question de la propa-
gation de la chaleur consiste à déterminer quelle est la température de
chaque point d'un corps à un instant donné, en supposant que les
températures initiales sont connues. Les exemples suivants feront con-
naître plus clairement la nature de ces questions.
2.
Si l'on expose à l'action durable et uniforme d'un foyer de chaleur
une même partie d'un anneau métallique d'un grand diamètre, les
molécules les plus voisines du foyer s'échaufferont les premières et,
après un certain temps, chaque point du solide aura acquis presque
entièrement la plus haute température à laquelle il puisse parvenir.
Cette limite ou maximum de température n'est pas la même pour les
différents points; elle est d'autant moindre qu'ils sont plus éloignés
de celui où le foyer est immédiatement appliqué.
Lorsque les températures sont devenues permanentes, le foyer trans-
met, à chaque instant, une quantité de chaleur qui compense exacte-
ment celle qui se dissipe par tous les points de la surface extérieure
de l'anneau.
Si maintenant on supprime le loyer, la chaleur continuera de se
propager dans l'intérieur du solide ; mais celle qui se perd dans le
milieu ou dans le vide ne sera plus compensée comme auparavant par
le produit du foyer, en sorte que toutes les températures varieront et
diminueront sans cesse, jusqu'à ce qu'elles soient devenues égales à
celle du milieu environnant.
3.
Pendant que les températures sont permanentes et que le loyer sub-
siste, si l'on élève, en chaque point de la circonférence moyenne de
l'anneau, une ordonnée perpendiculaire au plan de l'anneau et dont la
longueur soit proportionnelle à la température fixe de ce point, la
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 3
ligne courbe qui passerait par les extrémités de ces ordonnées repré-
sentera l'état permanent des températures, et il est très facile de déter-
miner par le calcul la nature de cette ligne. Il faut remarquer que l'on
suppose à l'anneau une épaisseur assez petite pour que tous les points
d'une même section perpendiculaire à la circonférence moyenne aient
des températures sensiblement égales. Lorsqu'on aura enlevé le foyer,
la ligne qui termine les ordonnées proportionnelles aux températures
des différents points changera continuellement de forme. La question
consiste à exprimer par une équation la forme variable de cette courbe,
et à comprendre ainsi dans une seule formule tous les états successifs
du solide.
4.
Soient z la température fixe d'un point m de la circonférence moyenne,
X la distance de ce point au foyer, c'est-à-dire la longueur de l'arc de
la circonférence moyenne, compris entre le point m et le point o, qui
correspond à la position du foyer; :; est la plus haute température que
le point m puisse acquérir en vertu de l'action constante du foyer, et
cette température permanente :; est une fonction/(a7) de la distance x\
La première partie de la question consiste à déterminer la fonction/(.T)
qui représente l'état permanent du solide.
On considérera ensuite l'état variable qui succède au précédent aus-
sitôt que l'on a éloigné le foyer; on désignera par t le temps écoulé
depuis cette suppression du foyer et par v la valeur de la température
du point m après le temps /. La quantité v sera une certaine fonc-
tion ¥{x, t) de la distancer et du temps /; l'objet de la question est
de découvrir cette fonction Y{x^t) dont on ne connaît encore que la
valeur initiale qui est/(a?), en sorte que l'on doit avoir l'équation de
condition
¥{x,o)^f{x).
5.
Si l'on place une masse solide homogène, de forme sphérique ou
cubique, dans un milieu entretenu a une température constante, et
k THÉORIE DE LA CHALEUR.
qu'elle y demeure très longtemps plongée, elle acquerra dans tous ses
points une température très peu différente de celle du fluide. Suppo-
sons qu'on l'en retire pour la transporter dans un milieu plus froid» la
chaleur commencera à se dissiper par la surface ; les températures des
différents points de la masse ne seront plus sensiblement les mêmes,
et, si on la suppose divisée en une infinité de couches par des surfaces
parallèles à la surface extérieure, chacune de ces couches transmettra,
dans un instant, une certaine quantité de chaleur à celle qui l'enve-
loppe. Si l'on conçoit que chaque molécule porte un thermomètre
séparé qui indique à chaque instant sa température, l'état du solide
sera continuellement représenté par le système variable de toutes ces
hauteurs thermométriques. Il s'agit d'exprimer les états successifs par
des formules analytiques, en sorte que l'on puisse connaître, pour un
instant donné, la température indiquée par chaque thermomètre et
comparer les quantités de chaleur qui s'écoulent, dans le même instant,
entre deux couches contiguès ou dans le milieu environnant.
6.
Si la masse est sphérique, et que l'on désigne par x la distance d'un
point m de cette masse au centre de la sphère, par t le temps écoulé
depuis le commencement du refroidissement et par ^ la température
variable du point m, il est facile de voir que tous les points placés à la
même distance x du centre ont la même température t^. Cette quan-
tité ^ est une certaine fonction F(jr, /) du rayon x et du temps écoulé /;
elle doit être telle qu'elle devienne constante quelle que soit la valeur
de X, lorsqu'on suppose celle de t nulle; car, d'après l'hypothèse, la
température de tous les points est la même au moment de l'émersion.
La question consiste à déterminer la fonction de ^ et de / qui exprime
la valeur de ^.
7.
On considérera ensuite que, pendant la durée du refroidissement, il
s'écoule k chaque instant, par la surface extérieure, une certaine quan-
CHAPITRE I.- INTRODUCTION. 5
tité de chaleur qui passe dans le milieu. La valeur de cette quantité
n'est pas constante; elle est plus grande au commencement du refroi-
dissement. Si Ton se représente aussi l'état variable de la surface sphé-
rique intérieure dont le rayon esta?, on reconnaît facilement qu'il doit
y avoir, à chaque instant, une certaine quantité de chaleur qui traverse
cette surface et passe dans la partie de la masse qui est plus éloignée
du centre. Ce flux continuel de chaleur est variable comme celui de la
surface extérieure, et l'un et l'autre sont des quantités comparables
entre elles; leurs rapports sont des nombres dont les valeurs variables
sont des fonctions de la distance x et du temps écoulé t. 11 s'agit de
déterminer ces fonctions.
8.
Si la masse, échauffée par une longue immersion dans un milieu, et
dont on veut calculer le refroidissement, est de forme cubique et si l'on
détermine la position de chaque point m par trois coordonnées rectan-
gulaires ai, j, 5, en prenant pour origine le centre du cube et pour
axes les lignes perpendiculaires aux faces, on voit que la tempéra-
ture V du point /w, après le temps écoulé t, est une fonction des quatre
variables x, y, z et t. Les quantités de chaleur qui s'écoulent à chaque
instant, par toute la surface extérieure du solide, sont variables et
comparables entre elles; leurs rapports sont des fonctions analytiques
qui dépendent du temps t et dont il faut assigner l'expression.
9.
Examinons aussi le cas où un prismTg rectangulaire d'une assez
grande épaisseur et d'une longueur infinie, étant assujetti par son
extrémité a une température constante, pendant que l'air environnant
conserve une température moindre, est enfin parvenu à un état fixe
qu'il s'agit de connaître. Tous les points de la section extrême qui sert
de base au prisme ont, par hypothèse, une température commune et
permanente. Il n'en est pas de même d'une section éloignée du foyer;
chacun des points de cette surface rectangulaire, parallèle à la base, a
acquis une température fixe, mais qui n'est pas la même pour les dif-
6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
férents points d'une même section et qui doit être moindre pour les
points les plus voisins de la surface exposée à Pair. On voit aussi qu'il
s'écoule à chaque instant, à travers une section donnée, une certaine
quantité de chaleur qui demeure toujours la même, puisque l'état du
solide est devenu constant. La question consiste à déterminer la tem-
pérature permanente d'un point donné du solide et la quantité totale
de chaleur qui, pendant un temps déterminé, s'écoule à travers une
section dont la position est donnée.
10.
Prenons pour origine des coordonnées or, y, z le centre de la base
du prisme, et pour axes rectangulaires l'axe même du prisme et les
deux perpendiculaires sur les faces latérales : la température perma-
nente i^ du point /n dont les coordonnées sont .r, 7, z est une fonction
de trois variables F(.x*,j, s); elle reçoit, par hypothèse, une valeur
constante lorsque l'on suppose x nul, quelles que soient l^s valeurs
de j et de z. Supposons que l'on prenne pour unité la quantité de cha-
leur qui, pendant l'unité de temps, sortirait d'une superficie égale à
l'unité de surface si la masse échauffée que cette superficie termine, et
<(ui est formée de la même substance que le prisme, était continuel-
lement entretenue à la température de l'eau bouillante et plongée dans
l'air atmosphérique entretenu à la température de la glace fondante. On
voit que la quantité de chaleur qui, dans l'état permanent du prisme
rectangulaire, s'écoule, pendant l'unité de temps, à travers une cer-
taine section perpendiculaire à l'axe, a un rapport déterminé avec la
quantité de chaleur prise pour unité. Ce rapport n'est pas le même
pour toutes les sections; il est une fonction ç(x) de la distance x à
laquelle une section est placée; il s'agit de trouver l'expression ana-
lytique de la fonction o{x).
11.
Les exemples précédents suffisent pour donner une idée exacte des
diverses questions que nous avons traitées.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 7
La solution de ces questions nous a fait connaître que les effets de la
propagation de la chaleur dépendent, pour chaque substance solide,
de trois qualités élémentaires qui sont : la capacité de-chaleur, la con-
ducibilité propre et la conducibilité extérieure. On a observé que, si
deux corps de mérae volume et de nature différente ont des tempéra-
tures égales et qu'on leur ajoute une même quantité de chaleur, les
accroissements de température ne sont pas les mêmes; le rapport de
ces accroissements est celui des capacités de chaleur. Ainsi le premier
des trois éléments spécifiques qui règlent l'action de la chaleur est
exactement défini, et les physiciens connaissent depuis longtemps plu-
sieurs moyens d'en déterminer la valeur. Il n'en est pas de même des
deux autres; rn en a souvent observé les effets, mais il n'y a qu'une
théorie exacte qui puisse les bien distinguer, les définir et les mesurer
avec précision. La conducibilité propre ou intérieure d'un corps ex-
prime la facilité avec laquelle la chaleur s'y propage en passant d'une
molécule intérieure à une autre. La conducibilité extérieure, ou rela-
tive, d'un corps solide dépend de la facilité avec laquelle la chaleur en
pénètre la surface et passe de ce corps dans un milieu donné, ou passe
du milieu dans le solide. Cette dernière propriété est modifiée par
l'état plus ou moins poli de la superficie; elle varie aussi selon le
milieu dans lequel le corps est plongé; mais la conducibilité propre
ne peut changer qu'avec la nature du solide.
Ces trois qualités élémentaires sont représentées dans nos formules
par des nombres constants, et la théorie indique elle-même les expé-
riences propres à en mesurer la valeur. Dès qu'ils sont déterminés,
toutes les questions relatives à la propagation de la chaleur ne dépen-
dent que de l'analyse numérique. La connaissance de ces propriétés
spécifiques peut être immédiatement utile dans plusieurs applications
des sciences physiques; elle est d'ailleurs un élément de l'étude et de
la description des diverses substances. C'est connaître très imparfaite-
ment les corps que d'ignorer les rapports qu'ils ont avec un des prin-
cipaux agents de la nature. En général, il n'y a aucune théorie mathé-
matique qui ait plus de rapport que celle-ci avec l'économie publique,
8 THÉORIE DE LA CHALEUR.
puisqu'elle peut servir à éclairer et à perfectionner l'usage des arts
nombreux qui sont fondés sur l'emploi de la chaleur.
12.
La question des températures terrestres offre une des plus belles
applications de la théorie de la chaleur; voici l'idée générale que l'on
peut s'en former. Les différentes parties de la surface du globe sont
inégalement exposées à l'impression des rayons solaires; l'intensité de
cette action dépend de la latitude du lieu; elle change aussi pendant la
durée du jour et pendant celle de l'année, et est assujettie à d'autres
inégalités moins sensibles. Il est évident qu'il existe, entre cet état
variable de la surface et celui des températures intérieures, une rela-
tion nécessaire que l'on peut déduire de la théorie. On sait qu'à une
certaine profondeur au-dessous de la surface de la Terre, la température
n'éprouve aucune variation annuelle dans un lieu donné : cette tempé-
rature permanente des lieux profonds est d'autant moindre que le lieu
est plus éloigné de l'équateur. On peut donc faire abstraction de l'en-
veloppe extérieure, dont l'épaisseur est incomparablement plus petite
que le rayon terrestre, et regarder cette planète comme une masse
presque sphérique dont la surface est assujettie à une température qui
demeure constante pour tous les points d'un parallèle donné, mais qui
n'est pas la même pour un autre parallèle. Il en résulte que chaque
molécule intérieure a aussi une température tixe déterminée par sa
position. La question mathématique consisterait a connaître la tempé-
rature fixe d'un point donné et la loi que suit la chaleur solaire en
pénétrant dans l'intérieur du globe.
Cette diversité des températures nous intéresse davantage, si l'on
considère les changements qui se succèdent dans l'enveloppe même
dont nous habitons la superficie. Ces alternatives de chaleur et de
froid, qui se reproduisent chaque jour et dans le cours de chaque
année, ont été jusqu'ici l'objet d'observations multipliées. On peut
aujourd'hui les soumettre au calcul et déduire d'une théorie com-
mune tous les faits particuliers que l'expérience nous avait appris.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 9
Cette question se réduit à supposer que tous les points de la surface
d'une sphère immense sont affectés de températures périodiques;
l'Analyse fait ensuite connaître suivant quelle loi l'intensité des varia-
tions décroit à mesure que la profondeur augmente; quelle est, pour
une profondeur donnée, la quantité des changements annuels ou
diurnes, l'époque de ces changements, et comment la valeur fixe de
la température souterraine se déduit des températures variables obser-
vées à la surface.
13.
Les équations générales de la propagation de la chaleur sont aux
différences partielles, et, quoique la forme en soit très simple, les
méthodes connues ne fournissent aucun moyen général de les inté-
grer; on ne pourrait donc pas en déduire les valeurs des températures
après un temps déterminé. Cette interprétation numérique des résul-
tats du calcul est cependant nécessaire, et c'est un degré de perfection
qu'il serait très important de donner à toutes les applications de l'Ana-
lyse aux Sciences naturelles. On peut dire que, tant qu'on ne l'a pas
obtenu, les solutions demeurent incomplètes ou inutiles, et que la
vérité qu'on se proposait de découvrir n'est pas moins cachée dans les
formules d'Analyse qu'elle ne l'était dans la question physique elle-
même. Nous nous sommes attaché avec beaucoup de soin et nous
sommes parvenu à surmonter cette difficulté dans toutes les questions
que nous avons traitées et qui contiennent les éléments principaux de
la Théorie de la chaleur. Il n'y a aucune de ces questions dont la solu-
tion ne fournisse des moyens commodes et exacts de trouver les valeurs
numériques des températures acquises, ou celles des quantités de cha-
leur écoulées, lorsqu'on connaît les valeurs du temps et celles des coor-
données variables. Ainsi l'on ne donnera pas seulement les équations
différentielles auxquelles doivent satisfaire les fonctions qui expriment
les valeurs des températures; on donnera ces fonctions elles-aiêmes
sous une forme qui facilite les applications numériques.
F.
2
10 THÉORIE DE L\ CHALEUR.
14.
Pour que ces solutions fussent générales et qu'elles eussent une
étendue équivalente à celle de la question» il était nécessaire qu'elles
pussent convenir avec l'état initial des températures qui est arbitraire.
L'examen de cette condition fait connaître que l'on peut développer
en séries convergentes, ou exprimer par des intégrales définies, les
fonctions qui ne sont point assujetties à une loi constante et qui repré-
sentent les ordonnées des lignes irrégulières ou discontinues. Cette
propriété jette un nouveau jour sur la Théorie des équations aux diffé-
rences partielles et étend l'usage des fonctions arbitraires en les sou-
mettant aux procédés ordinaires de l'Analyse.
15.
Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. On a entrepris,
dans cette vue, des expériences variées et précises dont les résultats
sont conformes h ceux du calcul et lui donnent une autorité qu'on eût
été porté à lui refuser dans une matière nouvelle et qui paraît sujette à
tant d'incertitudes. Ces expériences confirment le principe dont on est
parti et qui est adopté de tous les physiciens, malgré la diversité de
leurs hypothèses sur la nature de la chaleur.
IG.
L'équilibre de température ne s'opère pas seulement par la voie du
contact; il s'établit aussi entre les corps séparés les uns des autres et
qui demeurent longtemps placés dans un même lieu. Cet effet est indé-
pendant du contact du milieu; nous l'avons observé dans des espaces
entièrement vides d'air. Il fallait donc, pour compléter notre Théorie,
examiner les lois que suit la chaleur rayonnante en s'éloignant de la
superficie des corps. Il résulte des observations de plusieurs physiciens
et de nos propres expériences que l'intensité des différents rayons qui
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 11
sortent, dans tous les sens, de chaque point de la superficie d'un corps
échauffé dépend de Tangle que fait leur direction avec la surface dans
ce même point. Nous avons démontré que l'intensité de chaque rayon
est d'autant moindre qu'il fait avec l'élément de la surface un plus petit
angle, et qu'elle est proportionnelle au sinus de cet angle. Cette loi
générale de l'émission de la chaleur, que diverses observations avaient
déjà indiquée, est une conséquence nécessaire du principe de l'équi-
libre des températures et des lois de la propagation de la chaleur dans
les corps solides.
Telles sont les questions principales que l'on a traitées dans cet
Ouvrage; elles sont toutes dirigées vers un seul but, qui est d'établir
clairement les principes mathématiques de la Théorie de la chaleur et
de concourir ainsi aux progrès des arts utiles et à ceux de l'étude de la
nature.
17.
On aperçoit, par ce qui précède, qu'il existe une classe très étendue
de phénomènes qui ne sont point produits par des forces mécaniques,
mais qui résultent seulement de la présence et de l'accumulation de la
chaleur. Cette partie de la Philosophie naturelle ne peut se rapporter
aux Théories dynamiques; elle a des principes qui lui sont propres, et
elle est fondée sur une méthode semblable à celle des autres sciences
exactes. Par exemple, la chaleur solaire qui pénètre l'intérieur du
globe s'y distribue suivant une loi régulière, qui ne dépend point de
celles du mouvement et ne peut être déterminée par les principes de la
Mécanique. Les dilatations que produit la force répulsive de la chaleur
et dont l'observation sert à mesurer les températures sont, à la vérité,
des effets dynamiques; mais ce ne sont point ces dilatations que l'on
calcule lorsqu'on recherche les lois de la propagation de la chaleur.
18.
Il y a d'autres effets naturels plus composés qui dépendent a la fois
de l'influence de la chaleur et des forces attractives : ainsi les varia-
12 THÉORIE DE LA CHALEUR.
lions de température, que les mouvements du Soleil occasionnent dans
Tatmosphëre et dans TOcéan, changent continuellement la densité des
différentes parties de l'air et des eaux. L'effet des forces auxquelles ces
masses obéissent est modifié à chaque instant par une nouvelle distri-
bution de la chaleur, et l'on ne peut douter que cette cause ne pro-
duise les vents réguliers et les principaux courants de la mer; les
attractions solaire et lunaire n'occasionnent dans l'atmosphère que des
mouvements peu sensibles et non des déplacements généraux. Il était
donc nécessaire, pour soumettre ces grands phénomènes au calcul, de
découvrir les lois mathématiques de la propagation de la chaleur dans
l'intérieur des masses.
19.
On connaîtra, par la lecture de cet Ouvrage, que la chaleur affecte
dans les corps une disposition régulière, indépendante de la distribu-
tion primitive que l'on peut regarder comme arbitraire.
De quelque manière que la chaleur ait d'abord été répartie, le sys-
tème initial des températures, s'altérant de plus en plus, ne tarde
point à se confondre sensiblement avec un état déterminé qui ne
dépend que de la figure du solide. Dans ce dernier état, les tempéra-
tures de tous les points s'abaissent en même temps, mais conservent
entre elles les mêmes rapports; c'est pour exprimer cette propriété
que les formules analytiques contiennent des termes composés d'expo-
nentielles et de quantités analogues aux fonctions trigonométriques.
Plusieurs questions de Mécanique présentent des résultats ana-
logues, tels que l'isochronisme de« oscillations, la résonance mul-
tiple des corps sonores. Les expériences communes les avaient fait
remarquer, et le calcul en a ensuite démontré la véritable cause.
Quant à ceux qui dépendent des changements de température, ils
n'auraient pu être reconnus que par des expériences très précises,
mais l'Analyse mathématique a devancé les observations; elle supplée
h nos sens et nous rend en quelque sorte témoins des mouvements
réguliers et harmoniques de la chaleur dans l'intérieur des corps.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 13
20.
Ces considérations offrent un exemple singulier des rapports qui
existent entre la science abstraite des nombres et les causes natu-
relles.
Lorsqu'une barre métallique est exposée par son extrémité k l'action
constante d'un foyer et que tous ses points ont acquis leur plus haut
degré de chaleur, le système des températures fixes correspond exac-
tement à une Table de logarithmes; les nombres sont les élévations des
thermomètres placés aux différents points, et les logarithmes sont les
distances de ces points au foyer. En général, la chaleur se répartit
d'elle-même dans l'intérieur des solides, suivant une loi simple ex-
primée par une équation aux différences partielles, commune à des
questions physiques d'un ordre différent. L'irradiation de la chaleur
a une relation manifeste avec les Tables de sjnus; car les rayons, qui
sortent d'un même point d'une surface échauffée, diffèrent beaucoup
entre eux, et leur intensité est rigoureusement proportionnelle au
sinus de l'angle que fait leur direction avec l'élément de la surface.
Si l'on pouvait observer pour chaque instant, et en chaque point d'une
masse solide homogène, les changements de température, on retrou-
verait dans la série de ces observations les propriétés des séries récur-
rentes, celles des sinus et des logarithmes; on les remarquerait, par
exemple, dans les variations diurnes ou annuelles des températures
des différents points du globe terrestre q^ui sont voisins de la surface.
On reconnaîtrait encore les mêmes résultats et tous les éléments
principaux de l'Analyse générale dans les vibrations des milieux élas-
tiques, dans les propriétés des lignes ou des surfaces courbes, dans les
mouvements des astres et dans ceux de la lumière ou des fluides. C'est
ainsi que les fonctions obtenues par des différentiations successives,
et qui servent au développement des séries infinies et à la résolution
numérique des équations, correspondent aussi à des propriétés phy-
siques. La première de ces fonctions, ou la fluxion proprement dite,
exprime, dans la Géométrie, l'inclinaison de la tangente des lignes
n THÉORIE DE LA CHALEUR.
courbes, et, dans la Dynamique, la vitesse du mobile pendant le mou-
vement varié : elle mesure, dans la Théorie de la chaleur, la quantité
qui s'écoule en chaque point d'un corps à travers une surface donnée.
L'Analyse mathématique a donc des rapports nécessaires avec les phé-
nomènes sensibles; son objet n'est point créé par l'intelligence de
l'homme; il est un élément préexistant de l'ordre universel et n'a rien
de contingent et de fortuit; il est empreint dans toute la nature.
21.
Des observations plus précises et plus variées feront connaître par
la suite si les effets de la chaleur sont modifiés par des causes que l'on
n'a point aperçues jusqu'ici, et la Théorie acquerra une nouvelle per-
fection par la comparaison continuelle de ses résultats avec ceux des
expériences; elle expliquera des phénomènes importants que l'on ne
pouvait point encore soumettre au calcul; elle apprendra à déterminer
tous les effets thermométriques des rayons solaires, les températures
fixes ou variables que l'on observerait à différentes distances de l'équa-
teur, dans l'intérieur du globe ou hors des limites de l'atmosphère,
dans l'Océan ou dans les différentes régions de l'air. On en déduira la
connaissance mathématique des grands mouvements qui résultent de
l'influence de la chaleur combinée avec celle de la gravité. Ces mêmes,
principes serviront à mesurer la conducibilité propre ou relative des
différents corps et leur capacité spécifique, k distinguer toutes les
causes qui modifient l'émission de la chaleur à la surface des solides
et à perfectionner les instruments thermométriques. Cette théorie exci-
tera dans tous les temps l'attention des géomètres, par l'exactitude
rigoureuse de ses éléments et les difficultés d'Analyse qui lui sont
propres, et surtout par l'étendue et l'utilité de ses applications; car
toutes les conséquences qu'elle fournit intéressent la Physique géné-
rale, les opérations des arts, les usages domestiques ou l'économie
civile.
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 13
SECTION II.
NOTIONS GÉNÉRALES ET DÉFINITIONS PRÉLIXINAIRE8.
22.
On ne pourrait former que des hypothèses incertaines sur la nature
(le la chaleur; mais la connaissance des lois mathématiques auxquelles
ses effets sont assujettis est indépendante de toute hypothèse; elle
exige seulement l'examen attentif des faits principaux que les obser-
vations communes ont indiqués et qui ont été confirmés par des expé-
riences précises.
Il est donc nécessaire d'exposer, en premier lieu, les résultats géné-
raux des observations, de donner des définitions exactes de tous les
éléments du calcul et d'établir les principes sur lesquels ce calcul doit
être fondé.
L'action de la chaleur tend à dilater tous les corps solides, ou
liquides, ou aériformes; c'est cette propriété qui rend sa présence sen-
sible. Les solides et les liquides augmentent de voliime si l'on aug-
mente la quantité de chaleur qu'ils contiennent; ils se condensent si
on la diminue.
Lorsque toutes les parties d'un corps solide homogène, par exemple
celles d'une masse métallique, sont également échauffées et qu'elles
conservent, sans aucun changement, cette même quantité de chaleur,
elles ont aussi et conservent une même densité. On exprime cet état en
disant que, dans toute l'étendue de la masse, les molécules ont une
température commune et permanente.
23.
Le thermomètre est un corps dont on peut apprécier facilement les
moindres changements de volume; il sert à mesurer les températures
par la dilatation des liquides ou par celle de l'air. Nous supposons ici
16 THÉORIE DE LA CHALEL'H.
que l'on connaît exactement la construction, Tusage et les propriétés
(le ces instruments. La température d'un corps dont toutes les parties
sont également échauffées, et qui conserve sa chaleur, est celle qu'in-
dique le thermomètre, s'il est et s'il demeure en contact parfait avec h^
corps dont il s'agit.
Le contact est parfait lorsque le thermomètre est entièrement plongé
dans une masse liquide et, en général, lorsqu'il n'y a aucun point de la
surface extérieure de cet instrument qui ne touche un des points de la
masse solide ou fluide dont on veut mesurer la température. Il n'est
pas toujours nécessaire, dans les expériences, que cette condition soit
rigoureusement observée; mais on doit la supposer pour que la défini-
tion soit exacte.
24.
On détermine deux températures fixes, savoir : la température de la
glace fondante qui est désignée par o, et la température de Teau bouil-
lante que nous désignerons par i ; on suppose que l'ébullition de l'eau
a lieu sous une pression de l'atmosphère représentée par une certaine
hauteur du baromètre (7G0""), le mercure du baromètre étant à la
température o. '
25.
On mesure les différentes quantités de chaleur en déterminant com-
bien de fois elles contiennent une quantité que l'on a fixée et prise
pour unité. On suppose qu'une masse de glace d'un poids déterminé
(i^*^) soit à la température o, et que, par l'addition d'une certaine quan-
tité de chaleur, on la convertisse en eau a la même température o :
cette quantité de chaleur ajoutée est la mesure prise pour unité. Ainsi
la quantité de chaleur exprimée par un nombre C contient un nombre
C de fois la quantité nécessaire pour résoudre i^« de glace qui a la tem-
pérature o en une masse d'eau qui a la même température o (' ).
( » ) Les unités définies ici par Fourier n ont pas été adoptées, on le sait, par les physi-
ciens. Mais on verra plus loin (art. 161) que les équations de la chaleur sont établies d'une
manière générale et subsistent, quelles que soient les unités choisies. Il est d'autant plus
CHAPITRE I. ~ INTRODUCTION. 17
26.
Pour élever une masse métallique d'un certain poids, par exemple
i*^*^ de fer, depuis la température o jusqu'à la température i, il est né-
cessaire d'ajouter une nouvelle quantité de chaleur à celle qui était
déjà contenue dans cette masse. Le nombre C, qui désigne cette quan-
tité de chaleur ajoutée, est la capacité spécifique de chaleur du fer; le
nombre C a des valeurs très différentes pour les différentes substances.
27.
Si un corps d'une nature et d'un poids déterminés (i^« de mercure)
occupe le volume V, étant à la température o, il occupera un volume
plus grand V-4-A, lorsqu'il aura acquis la température i, c'est-k-dire
lorsqu'on aura augmenté la chaleur qu'il contenait, étant à la tempéra-
ture o, d'une nouvelle quantité €«, égale à sa capacité spécifique de
chaleur. Mais si, au lieu d'ajouter cette quantité Cq, on ajoute ;;Co
(c étant un nombre positif ou négatif), le nouveau volume sera V+S, au
lieu d'être Vh-A. Or les expériences font connaître que, si z est égal
à ^, l'accroissement de volume S est seulement la moitié de l'accrois-
sement total A, et qu'en général la valeur de S est jsA lorsque la quan-
tité de chaleur ajoutée est sCo.
28.
Ce rapport z des deux quantités de chaleur ajoutées ^Co et Co, qui
est aussi celui des deux accroissements de volume 8 et A, est ce que
l'on nomme la température; ainsi le nombre qui exprime la tempéra-
nécessaire de présenter ici celle remarque que, dans les applications, Fourier suppose
souvent que deux corps en contact ont, Tun la température o, l'autre la température i. Si
Ton adoptait les unités de Fourier, la différence des températures serait trop grande pour
que l'échange de la chaleur entre les deux corps fût réglé par la loi de Newton. Mais si l'on
n'a fait à l'avance aucune hypothèse, ni sur l'origine de l'échelle des températures, ni sur
la valeur de l'unité de température, il est clair qu'en choisissant convenablement cette ori-
gine et cette unité, on peut toujours exprimer deux températures différentes par les
nombres o et i. G. D.
F. 3
18 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ture actuelle d'un corps représente l'excès de son volume actuel sur le
volume qu'il occuperait à la température de la glace fondante, l'unité
représentant l'excès total du volume qui correspond à l'ébullition de
l'eau sur le volume qui correspond à la glace fondante.
29.
Les accroissements de volume des corps sont en général propor-
tionnels aux accroissements des quantités de chaleur qui produisent
les dilatations; il faut remarquer que cette proposition n'est exacte
que dans les cas où les corps dont il s'agit sont assujettis à des tempé-
ratures éloignées de celles qui déterminent leur changement d'état. On
ne serait point fondé à appliquer ces résultats à tous les liquides; et, à
l'égard de l'eau en particulier, les dilatations ne suivent point toujours
les augmentations de chaleur.
En général, les températures sont des nombres proportionnels aux
quantités de chaleur ajoutées et, dans les cas que nous considérons,
ces nombres sont aussi proportionnels aux accroissements du volume.
30.
Supposons qu'un corps terminé par une surface plane d'une certaine
étendue (i"*') soit entretenu d'une manière quelconque à une tem-
pérature constante i, commune à tous ses points, et que la surface
dont il s'agit soit en contact avec l'air maintenu à la température o : la
chaleur qui s'écoulera continuellement par la surface, et passera dans
le milieu environnant, sera toujours remplacée par celle qui provient
de la cause constante à l'action de laquelle le corps est exposé; il
s'écoulera ainsi par la surface, pendant un temps déterminé (une mi-
nute), une certaine quantité de chaleur désignée par A. Ce produit A,
d'un flux continuel et toujours semblable à lui-même, qui a lieu pour
une unité de surface à une température fixe, est la mesure de la con-
ducibilité extérieure du corps, c'est-à-dire de la facilité avec laquelle
sa surface transmet la chaleur à l'air atmosphérique.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 19
On suppose que l'air est continuellement déplacé avec une vitesse
uniforme et donnée; mais, si la vitesse du courant augmentait, la
quantité de chaleur qui se communique au milieu varierait aussi; il
en serait de même si l'on augmentait la densité de ce milieu.
31.
Si l'excès de la température constante du corps sur la température
des corps environnants, au lieu d'être égal à r, comme on l'a sup-
posé, avait une valeur moindre, la quantité de chaleur dissipée serait
moindre que A. Il résulte des observations, comme on le verra par la
suite, que cette quantité de chaleur perdue peut être regardée comme
sensiblement proportionnelle à l'excès de la température du corps sur
celle de l'air et des corps environnants. Ainsi, la quantité h ayant été
déterminée par une expérience dans laquelle la surface échauffée est à
la température i et le milieu à la température o, on en conclut qu'elle
aurait la valeur hz si la température de la surface était z, toutes les
autres circonstances demeurant les mêmes. On doit admettre ce résultat
lorsque z est une petite fraction.
32.
La valeur h de la quantité de chaleur qui se dissipe à travers la sur-
face échauffée est différente pour les différents corps; et elle varie pour
un même corps suivant les divers états de la surface. L'effet de l'irra-
diation est d'autant moindre que la surface échauffée est plus polie, de
sorte qu'en faisant disparaître le poli de la surface, on augmente consi-
dérablement la valeur de h. Un corps métallique échauffé se refroidira
beaucoup plus vite, si l'on couvre sa surface extérieure d'un enduit
noir, propre à ternir entièrement l'éclat métallique.
33.
Les rayons de chaleur qui s'échappent de la surface d'un corps par-
courent librement les espaces vides d'air; ils se propagent aussi dans
20 THÉORIE DE LA CHALEUR.
l'air atmosphérique; leur direction n'est point troublée par les agita-
tions de l'air intermédiaire : ils peuvent être réfléchis et se réunissent
aux foyers des miroirs métalliques. Les corps dont la température est
élevée, et que l'on plonge dans un liquide, n'échauffent immédiatement
que les parties de la masse qui sont en contact avec leur surface. Les
molécules dont la distance à cette surface n'est pas extrêmement petite
ne reçoivent point de chaleur directe; il n'en est pas de même des
fluides aériformes; les rayons de chaleur s'y portent avec une extrême
rapidité à des distances considérables, soit qu'une partie de ces rayons
traverse librement les couches de l'air, soit que celles-ci se les trans-
mettent subitement sans en altérer la direction.
34.
Lorsque le corps échauffé est placé dans un air qui conserve sensi-
blement une température constante, la chaleur qui se communique à
l'air rend plus légère la couche de ce fluide voisine de la surface; cette
couche s'élève d'autant plus vite qu'elle est plus échauffée, et elle est
remplacée par une autre masse d'air froid. 11 s'établit ainsi un courant
d'air dont la direction est verticale, et dont la vitesse est d'autant plus
grande que la température du corps est plus élevée. C'est pourquoi, si
le corps se refroidissait successivement, la vitesse du courant diminue-
rait avec la température, et la loi du refroidissement ne serait pas exac-
tement la même que si le corps était exposé à un courant d'air d'une
vitesse constante.
35.
Lorsque les corps sont assez échauffés pour répandre une très vive
lumière, une partie de leur chaleur rayonnante, mêlée à cette lumière,
peut traverser les solides ou les liquides transparents; et elle est
sujette k la force qui produit les réfractions. La quantité de chaleur
qui jouit de cette faculté est d'autant moindre que les corps sont
moins enflammés; elle est, pour ainsi dire, insensible pour les corps
très obscurs, quelque échauffés qu'ils soient. Une lame mince et dia-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. il
phane intercepte presque toute la chaleur directe qui sort d'une masse
métallique ardente; mais elle s'échauffe à mesure que les rayons inter-
ceptés s'y accumulent, ou, si elle est formée d'eau glacée, elle devient
liquide; si cette lame de glace est exposée aux rayons d'un flambeau,
elle laisse passer avec la lumière une chaleur sensible,
36.
Nous avons pris pour mesure de la conducibilité extérieure d'un
corps solide un coeflicient K exprimant la quantité de chaleur qui
passerait, pendant un temps déterminé (une minute), de la surface
de ce corps dans l'air atmosphérique, en supposant que la surface
ait une étendue déterminée (i""*), que la température constante du
corps soit I, que celle de l'air soit o et que la surface échauffée soi(
exposée à un courant d'air d'une vitesse donnée invariable. On déter-
mine cette valeur de h par les observations. La quantité de chaleur
exprimée par le coefficient se forme de deux parties distinctes qui ne
peuvent être mesurées que par des expériences très précises. L'une est
la chaleur communiquée par voie de contact à l'air environnant;
l'autre, beaucoup moindre que la première, est la chaleur rayonnante
émise. On doit supposer, dans les premières recherches, que la quan-
tité de chaleur perdue ne change point si l'on augmente d'une quantité
commune et assez petite la température du corps échauffé et celle du
milieu.
^ 37.
Les substances solides différent encore, comme nous l'avons dit, par
la propriété qu'elles ont d'être plus ou moins perméables à la chaleur;
cette qualité est leur conducibilité propre : nous en donnerons la
définition et la mesure exacte, après avoir traité de la propagation uni-
forme et linéaire de la chaleur. Les substances liquides jouissent aussi
de la faculté de transmettre la chaleur de molécule à molécule, et la
valeur numérique de leur conducibilité varie suivant la nature de ces
substances; mais on en observe difficilement l'effet dans les liquides,
22 THÉORIE DE LA CHALEUR.
parce que leurs molécules changent de situation en changeant de tem-
pérature. C'est de ce déplacement continuel que résulte principale-
ment la propagation de la chaleur, toutes les fois que les parties
inférieures de la masse sont les plus exposées à l'action du foyer. Si,
au contraire, on applique le foyer à la partie de la masse qui est la
plus élevée, comme cela avait lieu dans plusieurs de nos expériences,
la transmission de la chaleur, qui est très lente, n'occasionne aucun
déplacement, à moins que l'accroissement de la température ne dimi-
nue le volume, ce que l'on remarque en effet dans des cas singuliers
voisins des changements d'état.
38.
A cet exposé des résultats principaux des ohservations, il faut ajouter
une remarque générale sur l'équilibre des températures : elle consiste
en ce que les différents corps qui sont placés dans un même lieu,
dont toutes les parties sont et demeurent également échauflees, y
acquièrent aussi une température commune et permanente.
Supposons que tous les points d'une masse M aient une température
commune et constante a, qui est entretenue par une cause quelconque;
si l'on met un corps m en contact parfait avec la masse M, il prendra
la température commune a. A la vérité, ce résultat n'aurait lieu rigou-
reusement qu'après un tempsjnfini ; mais le sens précis de la proposi-
tion est que, si le corps m avait la température a avant d'être mis en
contact, il la conserverait sans aucun changement. 11 en serait de même
d'une multitude d'autres corps w, /?, y, r, ..., dont chacun serait mis
séparément en contact parfait avec la masse M; ils acquerraient tous la
température constante a. Ainsi le thermomètre étant successivement
appliqué aux différents corps w, n, p, q, r, ., . indiquerait cette même
température.
39.
•L'effet dont il s'agit est indépendant du contact, et il aurait encore
lieu, si le corps m était enfermé de toutes parts dans le solide M, comme
CHAPITRE I. — INÏRODUCTIO.N. 23
dans une enceinte, sans toucher aucune de ses parties. Par exemple,
si ce solide était une enveloppe sphérique d'une certaine épaisseur,
entretenue par une cause extérieure à la température a, et renfermant
un espace entièrement vide d'air, et si le corps m pouvait être placé
dans une partie quelconque de cet espace sphérique, sans qu'il louchât
aucun point de la surface intérieure de l'enceinte, il acquerrait la tem-
pérature commune a, ou plutôt il la conserverait s'il l'avait déjà. Le
résultat serait le même pour tous les autres corps /z, p, q, r, soit qu'on
les plaçât séparément ou ensemble dans cette même enceinte, et quelles
que fussent d'ailleurs leur espèce et leur figure.
40.
De toutes les manières de se représenter l'action de la chaleur, celle
qui parait la plus simple et la plus conforme aux observations consiste
à comparer cette action à celle de la lumière. Les molécules éloignées
les unes des autres se communiquent réciproquement à travers les
espaces vides d'air leurs rayons de chaleur, comme les corps éclairés
se transmettent leur lumière.
Si, dans une enceinte fermée de toutes parts et entretenue par une
cause extérieure à une température fixe a, on suppose que divers corps
sont placés sans qu'ils touchent aucune des parties de l'enceinte, on
observera des effets différents suivant que les corps introduits dans
cet espace vide d'air sont plus ou moins échauffés. Si l'on place d'abord
un seul de ces corps, et qu'il ait la température même de l'enceinte, il
enverra par tous les points de sa surface autant de chaleur qu'il en
reçoit du solide qui l'environne, et c'est cet échange de quantités égales
qui le maintient dans son premier état.
Si l'on introduit un second corps dont la température b soit moindre
que a, il recevra d'abord, des surfaces qui l'environnent de toutes
parts sans le toucher, une quantité de chaleur plus grande que celle
qu'il envoie : il s'échauffera de plus en plus et il perdra par sa surface
plus de chaleur qu'auparavant. La tempéralurc initiale i, s'élevant
2ï THEORIE DE LA CHALELIi.
continuellement, s'approchera sans cesse de la température fixe a, en
sorte qu'après un certain temps la différence sera presque insensible.
L'effet serait contraire si l'on plaçait dans la même enceinte un troi-
sième corps dont la température serait plus grande que a.
41.
Tous les corps ont la propriété d'émettre la chaleur par leur surface;
ils en envoient d'autant plus qu'ils sont plus échauffés; Tintensité des
rayons émis chanfçe très sensiblement avec l'état de la superficie.
42.
Toutes les surfaces, qui reçoivent les rayons de la chaleur des corps
environnants, en réfléchissent une partie et admettent l'autre : la cha-
leur qui n'est point réfléchie, mais qui s'introduit par la surface, s'ac-
cumule daits le solide; et, tant qu'elle surpasse la quantité qui se dis-
sipe par l'irradiation, la température s'élève.
•
43.
Les rayons qui tendent à sortir des corps échauffés sont arrêtés vers
la surface par une force qui en réfléchit une partie dans l'intérieur de
la masse. La cause qui empêche les rayons incidents de traverser la
superficie, et qui divise ces rayons en deux parties, dont l'une est
réfléchie et dont l'autre est admise, agit de la même manière sur les
rayons qui se dirigent de l'intérieur du corps vers l'espace extérieur.
Si, en modifiant l'état de la surface, on augmente la force avec
laquelle elle réfléchit les rayons incidents, on augmente en même
temps la faculté qu'elle a de réfléchir vers l'intérieur du corps les
rayons qui tendent à en sortir. La quantité des rayons incidents qui
s'introduisent dans la masse, et celle des rayons émis par la surface,
sont également diminuées.
44.
Si l'on plaçait ensemble dans l'enceinte dont nous avons parlé une
multitude de corps éloignés les uns des autres et inégalement échauf-
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 25
fés, ils recevraient et se transmettraient leurs rayons de chaleur, en
sorte que dans cet échange leurs températures varieraient continuelle-
ment et tendraient toutes à devenir égales à la température fixe de
l'enceinte.
Cet effet est précisément celui qui a lieu lorsque la chaleur se pro-
page dans les corps solides; car les molécules qui composent les corps
sont séparées par des espaces vides d'air et ont la propriété de rece-
voir, d'accumuler et d'émettre la chaleur. Chacune d'elles envoie ses
rayons de toutes parts et en même temps elle reçoit ceux des molécules
qui l'environnent.
45.
La chaleur envoyée par un point situé dans l'intérieur d'une masse
solide ne peut se porter directement qu'à une distance extrêmement
petite; elle est, pour ainsi dire, interceptée par les particules les plus
voisines; ce sont ces dernières seules qui la reçoivent mimédiatement
et qui agissent sur les points plus éloignés. Il n'en est pas de même
des fluides aériformes;- les effets directs de l'irradiation y deviennent
sensibles à des distances très considérables.
46.
Ainsi la chaleur qui sort dans toutes les directions d'une partie
d'une surface solide pénètre dans l'air jusqu'à des points fort éloi-
gnés; mais elle n'est émise que par les molécules du corps qui sont
extrêmement voisines de la surface. Un point d'une masse échauffée,
placé à une très petite distance de la superficie plane qui sépare la
masse de l'espace extérieur, envoie à cet espace une infinité de rayons;
mais ils n'y parviennent pas entièrement : ils sont diminués de toute
la quantité de chaleur qui s'arrête sur les molécules solides intermé-
diaires. La partie du rayon qui se dissipe dans l'espace est d'autant
moindre qu'elle traverse un plus long intervalle dans la masse. Ainsi
le rayon qui sort perpendiculairement à la superficie a plus d'intensité
que celui qui, partant du même point, suit une direction oblique, et
les rayons les plus obliques sont entièrement interceptés.
F- 4
26 THÉORIE DE LA CHALEUU.
La même conséquence s'applique à tous les points qui sont assez
voisins de la superficie pour concourir à rémission de la chaleur; il en
résulte nécessairement que ia quantité totale de chaleur qui sort de la
surface sous la direction perpendiculaire est beaucoup plus grande que
celle dont la direction est oblique. Nous avons soumis cette question
au calcul, et l'analyse que nous en avons faite démontre que l'intensité
du rayon est proportionnelle au sinus de. l'angle que ce rayon fait avec
l'élément de la surface. Les expériences avaient déjà indiqué un ré-
sultat semblable.
47.
Ce théorème exprime une loi générale qui a une connexion néces-
saire avec l'équilibre et le mode d'action de la chaleur. Si les rayons
qui sortent d'une surface échauffée avaient la même intensité dans
toutes les directions, le thermomètre que l'on placerait dans un des
points de l'espace terminé de tous côtés par une enceinte entretenue à
une température constante pourrait indiquer une température incom-
parablement plus grande que celle de l'enceinte. Les corps que l'on
enfermerait dans cette enceinte ne prendraient point une température
commune, ainsi qu'on le remarque toujours; celle qu'ils acquerraient
dépendrait du lieu qu'ils occuperaient, ou de leur forme, ou de celles
des corps voisins.
On observerait ces mêmes résultats, ou d'autres effets également
contraires à l'expérience commune, si l'on admettait entre les rayons
qui sortent d'un même point des rapports différents de ceux que l'on a
énoncés. Nous avons reconnu que cette loi est seule compatible avec
le fait général de l'équilibre de la chaleur rayonnante.
48.
Si un espace vide d'air est terminé de tous côtés par une enceinte
solide dont les parties sont entretenues à une température commune
et constante a, et si l'on met en un point quelconque de l'espace un
thermomètre qui ait la température actuelle a, il la conservera sans
aucun changement. Il recevra donc à chaque instant de la surface inté-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 27
rieure de l'enceinte autant de chaleur qu'il lui en envoie. Cet effet des
rayons de chaleur dans un espace donné est, à proprement parler, la
mesure de la température : mais cette considération suppose la théorie
mathématique delà chaleur rayonnante. Si Ton place maintenant entre
le thermomètre et une partie de la surface de l'enceinte un corps M
dont la température soit a, le thermomètre cessera de recevoir les
rayons d'une partie de cette surface intérieure; mais ils seront rem-
placés par ceux qu'il recevra du corps interposé M. Un calcul facile
prouve que la compensation est exacte, en sorte que l'état du thermo-
mètre ne sera point changé. Il n'en est pas de même si la température
du corps M n'est pas égale à celle de l'enceinte. Lorsqu'elle est plus
grande, les rayons, que le corps interposé M envoie au thermoniètre
et qui remplacent les rayons interceptés, ont plus de chaleur que ces
derniers; la température du thermomètre doit donc s'élever.
Si, au contraire, le corps intermédiaire a une température moindre
que a, celle du thermomètre devra s'abaisser ; car les rayons que ce
corps intercepte sont remplacés par ceux qu'il envoie, c'est-à-dire par
des rayons plus froids que ceux de l'enceinte; ainsi le thermomètre ne
reçoit pas toute la chaleur qui serait nécessaire pour maintenir sa tem-
pérature a.
49.
On a fait abstraction jusqu'ici de la faculté qu'ont toutes les surfaces
de réfléchir une partie des rayons qui leur sont envoyés. Si l'on ne con-
sidérait point cette propriété, on n'aurait qu'une idée très incomplète
de l'équilibre de la chaleur rayonnante.
Supposons donc que, dans la surface intérieure de l'enceinte entre-
tenue à une température constante, il y ait une portion qui jouisse à
un certain degré de la faculté dont il s'agit; chaque point de la surface
réfléchissante enverra dans l'espace deux espèces de rayons : les uns
sortent de l'intérieur même de la substance dont l'enceinte est formée,
les autres sont seulement réfléchis par cette même surface à laquelle
ils ont été envoyés. Mais en même temps que la surface repousse à
l'extérieur une partie des rayons incidents, elle retient dans l'intérieur
28 THEORIE DE LA CHALEUR.
une partie de ses propres rayons. II s*établit à cet égard une compen-
sation exacte, c'est-à-dire que chacun des rayons propres, dont la sur-
face empêche l'émission, est remplacé par un rayon réfléchi d'une
égale intensité.
Le même résultat aurait lieu si la faculté de réfléchir les rayons
affectait à un degré quelconque d'autres parties de l'enceinte, ou la
superficie des corps placés dans le même espace et pan'enus à la tem-
pérature commune.
Ainsi la réflexion de la chaleur ne trouble point l'équilibre des
températures et n'apporte, pendant que cet équilibre subsiste, aucun
changement à la loi suivant laquelle l'intensité des rayons qui partent
d'un même point décroit proportionnellement au sinus de l'angle d'é-
mission.
50.
Supposons que dans cette même enceinte, dont toutes les parties
conservent la température a, on place un corps isolé M et une surface
métallique polie R qui, tournant sa concavité vers le corps, réfléchisse
une grande partie des rayons qu'elle en reçoit; si l'on place entre le
corps M et la surface réfléchissante R un thermomètre qui occupe le
foyer de ce miroir,^ on observera trois effets différents, selon que la
température du corps M sera égale à la température commune a, ou
sera plus grande, ou sera moindre.
Dans le premier cas, le thermomètre conserve la température a; il
reçoit : i° des rayons de chaleur de toutes les parties de l'enceinte qui
ne lui sont point cachées par le corps M ou par le miroir; 2^ des rayons
envoyés par le corps; 3*^ ceux que la surface R envoie au foyer, soit
qu'ils viennent de la masse même du miroir, soit que la surface les ait
seulement réfléchis; et parmi ces derniers on peut distinguer ceux qui
sont envoyés au miroir par la masse M et ceux qu'il reçoit de l'en-
ceinte. Tous les rayons dont il s'agit proviennent des surfaces qui,
d'après l'hypothèse, ont une température commune a, en sorte que le
thermomètre est précisément dans le même état que si l'espace ter-
miné par l'enceinte ne contenait point d'autre corps que lui.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION, 29
Dans le second cas, le thermomètre placé entre le corps échauffe M
et le miroir doit acquérir une température plus grande que a. En effet,
il reçoit les mêmes rayons que dans la première hypothèse; mais il y a
deux différences remarquables : l'une provient de ce que les rayons
envoyés par le corps M au miroir et réfléchis sur le thermomètre con-
tiennent plus de chaleur que dans le premier cas. L'autre différence
provient des rayons que le corps M envoie directement au thermomètre
et qui ont plus de chaleur qu'auparavant. L'une et l'autre cause, et
principalement la première, concourent à élever la température du.
thermomètre.
Dans le troisième cas, c'est-à-dire lorsque^la température de la
masse M est moindre que a, le thermomètre doit prendre aussi une
température moindre que a. En effet, il reçoit encore toutes les es-
pèces de rayons que nous avons distinguées pour le premier cas; mais
il y en a deux sortes qui contiennent moins de chaleur que dans cette
première hypothèse, savoir ceux qui, envoyés par le corps M, sont réflé-
chis par le miroir sur le thermomètre, et ceux que le même corps M lui
envoie directement. Ainsi le thermomètre ne reçoit pas toute la cha-
leur qui lui est nécessaire pour conserver sa température primitive a.
Il envoie plus de chaleur qu'il n'en reçoit. Il faut donc que sa tempé-
rature s'abaisse jusqu'à ce que les rayons qu'il reçoit suffisent pour
compenser ceifx qu'il perd. C'est ce dernier effet que l'on a nommé la
réflexion du froid et qui, à proprement parler, consiste dans la réflexion
d'une chaleur trop faible. Le miroir intercepte une certaine quantité
de chaleur et la remplace par une moindre quantité.
61.
Si l'on place dans l'enceinte entretenue à une température con-
stante a un corps M dont la température a' soit moindre que «, la
présence de ce corps fera baisser le thermomètre exposé à ses rayons,
et l'on doit remarquer qu'en général ces rayons envoyés au thermo-
mètre par la surface du corps M sont de deux espèces, savoir ceux qui
sortent de l'intérieur de la masse M, et ceux qui, venant des diverses
30 THEORIE DE LA CHALEUR.
parties de l'enceinte, rencontrent la surface M et sont réfléchis sur le
tliermomëtre. Ces derniers ont la température commune a; mais ceux
qui appartiennent au corps M contiennent moins de chaleur, et ce sont
ces rayons qui refroidissent le thermomètre. Si maintenant, en chan-
geant l'état de la surface du corps M, par exemple en détruisant le poli,
on diminue la faculté qu'elle a de réfléchir les rayons incidents, le ther-
momètre s'abaissera encore et prendra une température a" moindre que
a\ En effet, toutes les conditions seront les mêmes que dans le cas pré-
cédent, si .ce n'est que la masse M envoie une plus grande quantité de
ses propres rayons et réfléchit une moindre quantité des rayons qu'elle
reçoit de l'enceinte; c'^est-à-dire que ces derniers, qui ont la tempéra-
ture commune, sont en partie remplacés par des rayons plus froids.
Donc le thermomètre ne reçoit plus autant de chaleur qu'auparavant.
Si, indépendamment de ce changement de la surface du corps M, on
place un miroir métallique propre à réfléchir sur le thermomètre les
rayons sortis de M, la température prendra une valeur a'" moindre que
a'\ En effet, le miroir intercepte au thermomètre une partie des rayons
de l'enceinte qui ont tous la température a, et les remplace par trois
espèces de rayons, savoir : i^ ceux qui proviennent de l'intérieur même
du miroir et qui ont la température commune; 2^ ceux que diverses
parties de l'enceinte envoient au miroir avec cette même température
et qui sont réfléchis vers le foyer; 3^ ceux qui, venant de l'intérieur du
corps M, tombent sur le miroir et sont réfléchis sur le thermomètre.
Ces derniers ont une température moindre que a; donc le thermomètre
ne reçoit plus autant de chaleur qu'il en recevait avant que l'on plaçât
le miroir.
Enfln, si l'on vient à changer aussi l'état de la surface du miroir, et
qu'en lui donnant un poli plus parfait on augmente la faculté de réflé-
chir la chaleur, le thermomètre s'abaissera encore. En effet, toutes les
conditions qui avaient lieu dans le cas précédent subsistent. Il arrive
seulement que le miroir envoie une moindre quantité de ses propres
rayons, et il les remplace par ceux qu'il réfléchit. Or, parmi ces der-
niers, tous ceux qui sortent de l'intérieur de la masse M ont moins
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 31
(l'intensité que s'ils venaient de l'intérieur du miroir métallique; donc
le thermomètre reçoit encore moins de chaleur qu'auparavant; il
prendra donc une température a}'' moindre que a*.
On explique facilement par les mêmes principes tous les effets
connus de l'irradiation de la chaleur ou du froid.
52.
Les effets de la chaleur ne peuvent nullement être comparés à ceux
d'un fluide élastique dont les molécules sont en repos. Ce serait inu-
tilement que l'on voudrait déduire de cette hypothèse les lois de la
propagation que nous expliquons dans cet Ouvrage et que toutes les
expériences ont confirmées. L'état libre de la chaleur est celui de la
lumière; l'habitude de cet élément est donc entièrement différente de
celle des substances aériformes. La chaleur agit de la même manière
dans le vide, dans les fluides élastiques et dans les masses liquides ou
solides; elle ne s'y propage que par voie d'irradiation, mais ses effets
sensibles différent selon la nature des corps.
53.
La chaleur est le principe de toute élasticité; c'est sa force répulsive
qui conserve la figure des masses solides et le volume des liquides.
Dans les substances solides, les molécules voisines céderaient à leur
attraction mutuelle si son effet n'était pas détruit par la chaleur qui les
sépare.
Cette force élastique est d'autant plus grande que la température est
plus élevée; c'est pour cela que les corps se dilatent ou se condensent,
lorsqu'on élève ou lorsqu'on abaisse leur température.
54.
L'équilibre qui subsiste dans l'intérieur d'une masse solide entre la
force répulsive de la chaleur et l'attraction moléculaire est stable;
c'est-à-dire qu'il se rétablit de lui-même lorsqu'il est troublé par une
32 THÉORIE DE LA CHALEUR.
cause accidentelle. Si les molécules sont placées à la distance qui con-
venait à l'équilibre, et si une force extérieure vient à augmenter cette
distance sans que la température soit changée, l'effet de l'attraction
commence à surpasser celui de la chaleur et ramène les molécules à
leur position primitive, après une multitude d'oscillations qui devien-
nent de plus en plus insensibles.
Un effet semblable s'opère en sens opposé lorsqu'une cause méca,-
nique diminue la distance primitive des molécules; telle est l'origine
des vibrations des corps sonores ou flexibles et de tous les effets de
leur élasticité.
55.
Dans l'état liquide ou aériforme, la compression extérieure s'ajoute
ou supplée à l'attraction moléculaire et, s'exerçant sur les surfaces,
elle ne s'oppose point au changement de figure, mais seulement à celui
du volume occupé. L'emploi du calcul ferait mieux connaître comment
la force répulsive de la chaleur, opposée à l'attraction des molécules
•ou à la compression extérieure, concourt à la composition des corps
solides ou liquides formés d'un ou plusieurs principes et détermine les
propriétés élastiques des fluides aériformes; mais ces recherches n'ap-
partiennent point à l'objet que nous traitons et rentrent dans les théo-
ries dynamiques.
56.
On ne peut douter que le mode d'action de la chaleur ne consiste
toujours, comme celui de la lumière, dans la communication réciproque
des rayons, et cette explication est adoptée aujourd'hui de la plupart
des physiciens ; mais il n'est point nécessaire de considérer les phé-
nomènes sous cet aspect pour établir la théorie de la chaleur. On recon-
naîtra, dans le cours de cet Ouvrage, que les lois de l'équilibre de la
chaleur rayonnante et celles de la propagation dans les masses solides
ou liquides peuvent, indépendamment de toute explication physique,
être rigoureusement démontrées comme des conséquences nécessaires
des observations communes.
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 33
SECTION III.
PRINCIPE DE LA COMMCNICÀTION DE LA CHALEl'R.
57.
Nous allons présentemertt examiner ce que les expériences nous
apprennent sur la communication de la chaleur.
Si deux molécules égales sont formées de la même substance et ont
la même température, chacune d'elles reçoit de l'autre autant de cha-
leur qu'elle lui en envoie: leur action mutuelle doit donc être regardée
comme nulle, parce que le résultat de cette action ne peut apporter
aucun changement dans l'état des molécules. Si au contraire la pre-
mière est plus échauffée que la seconde, elle lui envoie plus de chaleur
qu'elle n'en reçoit; le résultat de l'action mutuelle est la différence de
ces deux quantités de chaleur. Dans tous les cas nous faisons abstrac-
tion des quantités égales de chaleur que deux points matériels quel-
conques s'envoient réciproquement; nous concevons que le point le
plus échauffé agit seul sur l'autre, et qu'en vertu de cette action le
premier perd une certaine quantité de chaleur qui est acquise par le
second. Ainsi l'action de deux molécules, ou la quantité de chaleur
que la plus échauffée communique à l'autre, est la différence des deux
quantités qu'elles s'envoient réciproquement.
58.
Supposons que l'on place dans l'air un corps solide homogène dont
les différents points ont actuellement des températures inégales; cha-
cune des molécules dont le corps est composé commencera à recevoir
de la chaleur de celles qui en sont extrêmement peu distantes, ou leur
en communiquera. Cette action s'exerçant pendant le même instant
entre tous les points de la masse, il en résultera un changement infi-
niment petit pour toutes les températures : le solide éprouvera à chaque
F. 5
34 THÉORIE DE LA CHALEUR.
instant des effets semblables, en sorte que les variations de tempéra-
ture deviendront de plus en plus sensibles. Considérons seulement le
système de deux molécules égales et extrêmement voisines m et n, et
cherchons quelle est la quantité de chaleur que la première peut rece-
voir de la seconde pendant la durée d*un instant; on appliquera ensuite
le même raisonnement à tous les autres points qui sont assez voisins
du point m pour agir immédiatement sur lui dans le premier instant.
La quantité de chaleur communiquée par le point n au point m
dépend de la durée de l'instant, de la distance extrêmement petite de
ces points, de la température actuelle de chacun et de la nature de la
substance solide; c'est-à-dire que, si l'un de ces éléments venait à
varier, tous les autres demeurant les mêmes, la quantité de chaleur
transmise varierait aussi. Or les expériences ont fait connaître à cet
égard un résultat général : il consiste en ce que, toutes les autres
circonstances étant les mêmes, la quantité de chaleur que l'une des
molécules reçoit de l'autre est proportionnelle k la différence de tem-
pérature de ces deux molécules. Ainsi cette quantité serait double,
triple, quadruple si, tout restant d'ailleurs le même, la différence de la
température du point n à celle du point m était double ou triple. ou
quadruple. Pour se rendre raison de ce résultat, il faut considérer que
l'action de n sur m est toujours d'autant plus grande qu'il y a plus de
différence entre les températures des deux points; elle est nulle si les
températures sont égales; mais, si la molécule n contient plus de cha-
leur que la molécule égale m, c'est-à-dire si, la température de m étant
^, celle de /i est f^ -h A, une portion de la chaleur excédante passera de
71 à m. Or, si l'excès de chaleur était double ou, ce qui est la même
chose, si la température de n était v -h 2A, la chaleur excédante serait
composée de deux parties égales correspondantes aux deux moitiés de
la différence totale des températures 2A; chacune de ces parties aurait
son effet propre comme si elle était seule : ainsi la quantité de chaleur
communiquée par n à m serait deux fois plus grande que si la diffé-
rence des températures était seulement A. C'est cette action simultanée
des différentes parties de la chaleur excédante qui constitue le prin-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION, 35
cipe de la communication de la chaleur. Il en résulte que la somme
des actions partielles ou la quantité totale de chaleur que m reçoit
de n est proportionnelle à la différence des deux températures,
59.
En désignant par v et {>' les températures des deux molécules égales
m et n, par;? leur distance extrêmement petite et par dt la durée infi-
niment petite de l'instant, la quantité de chaleur que m reçoit de /i,
pendant cet instant, sera exprimée par [v' ^ ^) ^[p)dt. On désigne
par (p(/>) une certaine fonction de la distance p qui, dans les corps
solides et dans les liquides, devient nulle lorsque p a une grandeur
sensible. Cette fonction est la même pour tous les points d'une même
substance donnée; elle varie avec la nature de la substance.
60.
La quantité de chaleur que les corps perdent par leur surface est
assujettie au même principe. Si Ton désigne par (s l'étendue ou finie
ou infiniment petite de la surface dont tous les points ont la tempéra-
ture v^ et si a représente la température de l'air atmosphérique, le
coefficient h étant la mesure de la conducibilité extérieure, on aura
Qh[v — a)dt pour l'expression de la quantité de chaleur que cette sur-
face G transmet à l'air pendant l'instant dt.
Lorsque les deux molécules, dont l'une transmet directement à
l'autre une certaine quantité de chaleur, appartiennent au même
solide, l'expression exacte de la chaleur communiquée est celle que
nous avons donnée dans l'article précédent parce que, les molécules
étant extrêmement voisines, la différence des températures est extrê-
mement petite. Il n'en est pas de même lorsque la chaleur passe d'un
corps solide dans un milieu aériforme. Mais les expériences nous ap-
prennent que, si la différence est une quantité assez petite, la chaleur
transmise est sensiblement proportionnelle à cette différence et que le
nombre h peut, dans les premières recherches, être considéré comme
36 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ayant une valeur constante, propre à chaque état de la surface, mais
indépendante de la température.
61.
Ces propositions relatives à la quantité de chaleur communiquée ont
été déduites de diverses observations. On voit d'abord, comme uno
conséquence évidente des expressions dont il s*agit, que, si Ton aug-
mentait d'une quantité commune toutes les températures initiales de
la masse solide et celle du milieu où elle est placée, les changements
successifs des températures seraient exactement les mêmes que si l'on
ne faisait point cette addition. Or ce résultat est sensiblement con-
forme aux expériences; il a été admis par les premiers physiciens qui
ont observé les effets de la chaleur.
62.
Si le milieu est entretenu à une température constante et si le corps
échauffé qui est placé dans ce milieu a des dimensions assez petites
pour que la température, en s'abaissant de plus en plus, demeure
sensiblement la même dans tous ses points, il suit des mêmes proposi-
tions qu'il s'échappera à chaque instant, par la surface du corps, une
quantité de chaleur proportionnelle à l'excès de sa température ac-
tuelle sur celle du milieu. On en conclut facilement, comme on le
verra dans la suite de cet Ouvrage, que la ligne dont les abscisses
représenteraient les temps écoulés et dont les ordonnées représente-
raient les températures qui correspondent à ces temps, est une courbe
logarithmique : or les observations fournissent aussi ce même résultat,
lorsque l'excès de la température du solide sur celle du milieu est une
quantité assez petite.
63.
Supposons que le milieu soit entretenu à la température constante o,
et que les températures initiales des différents points a, b, c^ d, . ..
d'une même masse soient a, p, y, 55, . . . , qu'à la fin du premier instant
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 37
elles soient devenues a', p', y', X', . . . , qu'à la fin du deuxième instant
elles soient a", p", y"» ^'» •• •» ^^'^si de suite. On peut facilement con-
clure des propositions énoncées que, si les températures initiales des
mêmes points avaient été ^a, g^, g-^, ^S, ... {g étant un nombre quel-
conque), elles seraient devenues, en vertu de l'action des différents
points, à la fin du premier instant, goL\ g^\ g-/* gh\ ..., à I^ fin du
second instant goL'\ g^'\ gY\ g^'\ ...» ainsi de suite. En effet, compa-
rons le cas où les températures initiales des points a, 6, c, ^, . . , étaient
a» P»Y. ^> ... avec celui oii elles sont 2a, 2P, 2y, 2S, ..., le milieu conser-
vant, dans l'un et l'autre cas, la température o. Dans la seconde hypo-
thèse, les différences des températures des deux points quelconques sont
doubles de ce qu'elles étaient dans la première, et l'excès de la tem-
pérature de chaque point sur celle de chaque molécule du milieu est
aussi double; par conséquent la quantité de chaleur qu'une molécule
quelconque envoie à une autre, ou celle qu'elle en reçoit, est, dans la
seconde hypothèse, double de ce qu'elle était dans la première. Le
changement que chaque point subit dans sa température étant propor-
tionnel à la quantité de chaleur acquise, il s'ensuit que, dans le second
cas, ce clïangement est double de ce qu'il était dans le premier. Or on
a supposé que la température initiale du premier point, qui était a,
devient a' à la fin du premier instant; donc, si cette température ini-
tiale eût été 2x et si toutes les autres eussent été doubles, elle serait
devenue 2a'. Il en serait de même de toutes les autres molécules 6, c,
e/, . . . , et l'on tirera une conséquence semblable si le rapport, au lieu
d'être 2, est un nombre quelconque g. Il résulte donc du principe de la
communication de la chaleur que, si l'on augmente ou si l'on diminue
dans une raison donnée toutes les températures initiales, on augmente
ou l'on diminue dans la même raison toutes les températures succes-
sives.
Ce résultat, comme les deux précédents, est confirmé par les obser-
vations. Il ne pourrait point avoir lieu si la quantité de chaleur qui
passe d'une molécule à une autre n'était point, en effet, proportion-
nelle à la différence des températures.
38 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On a observé, avec des instruments précis, les températures perma-
nentes des différents points d'une barre ou d'une armille métallique,
et la propagation de la chaleur dans ces mêmes corps et dans plu-
sieurs autres solides de forme sphérique ou cubique. Les résultats de
ces expériences s'accordent avec ceux que l'on déduit des propositions
précédentes. Ils seraient entièrement différents si la quantité de cha-
leur transmise par une molécule solide à une autre, ou à une molé-
cule de l'air, n'était pas proportionnelle à l'excès de température. Il
est d'abord nécessaire de connaître toutes les conséquences rigoureuses
de ciotte proposition ; par là on détermine la partie principale des quan-
tités qui sont l'objet de la question. En comparant ensuite les valeurs
calculées avec celles que donnent des expériences nombreuses et très
précises, on peut facilement mesurer les variations des coefficients et
perfectionner les premières recherches.
SECTION IV.
DU MOUVEMENT UNIFORME ET LINÉAIRE DE LA CHALEUR.
65.
On considérera, en premier lieu, le mouvement uniforme de là cha-
leur dans le cas le plus simple, qui est celui d'un solide infini compris
entre deux plans parallèles.
On suppose qu'un corps solide formé d'une substance homogène est
compris entre deux plans infinis et parallèles; le plan inférieur A est
entretenu par une cause quelconque à une température constantes;
on peut concevoir, par exemple, que la masse est prolongée et que le
plan A est une section commune au solide et à cette masse intérieure
échauffée dans tous ses points par un foyer constant; le plan supé-
rieur B est aussi maintenu par une cause semblable à une température
fixe i, dont la valeur est moindre que celle de a : il s'agit de déter-
miner quel serait le résultat de cette hypothèse si elle était continuée
pendant un temps infini.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 39
Si Ton suppose que la température initiale de toutes les parties de
ce corps soit è, on voit que la chaleur qui sort du foyer A se propa-
gera de plus en plus et élèvera la température des molécules com-
prises entre les deux plans; mais, celle du plan supérieur ne pouvant,
d'après l'hypothèse, être plus grande que 6, la chaleur se dissipera
dans la masse plus froide dont le contact retient le plan B à la tempé-
rature constante b. Le système des températures tendra de plus en
plus à uo état final qu'il ne pourra jamais atteindre, mais qui aurait,
comme on va le prouver, la propriété de subsister lui-même et de se
conserver sans aucun changement s'il était une fois formé.
Dans cet état final et fixe que nous considérons, la température per-
manente d'un point du solide est évidemment la même pour tous les
points d'une même section parallèle à la base; et nous allons démon-
trer que cette température fixe, qui est commune à tous les points
d'une section intermédiaire, décroît en progression arithmétique depuis
ia base jusqu'au plan supérieur, c'est-à-dire qu'en représentant les
températures constantes a et 6 par les ordonnées Aa et Bp {Jîg> i),
Fîg. I.
_
B P
1 \
1
\
-
B^
1 - .\
*'
_ _ _
\
\
élevées perpendiculairement sur la distance AB des deux plans, les
températures fixes des couches intermédiaires seront représentées par
les ordonnées de la droite a[} qui joint les extrémités a et P; ainsi, en
désignant par ^ la hauteur d'une section intermédiaire ou la distance
perpendiculaire au plan A, par e la hauteur totale ou la distance AB et
par ^ la température de la section dont la hauteur est z, on doit avoir
l'équation
b — a
liO THÉORIE DE LA CHALEUR.
En effet, si les températures étaient établies d'abord suivant cette
loi et si les surfaces extrêmes A et B étaient toujours retenues aux tem-
pératures a etb, il ne pourrait survenir aucun changement dans Télat
du solide. Pour s*en convaincre, il suffira de comparer la quantité de
chaleur qui traverserait une section intermédiaire A' à celle qui, pen-
dant le même temps, traverserait une autre section B',
En se représentant que Tétat final du solide est formé et subsistant,
on voit que la partie de la masse qui est au-dessous du plan A' doit
communiquer de la chaleur à la partie qui est au-dessus de ce plan,
puisque cette seconde partie est moins échauffée que la première.
Imaginons que deux points du solide m et m\ extrêmement voisins
l'un de l'autre et placés d'une manière quelconque, l'un m au-dessous
du plan A' et l'autre /w' au-dessus de ce plan, exercent leur action pen-
dant un instant infiniment petit : le point le plus échauffé m commu-
niquera km' une certaine quantité de chaleur qui traversera ce plan A'.
Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point /w, et x\ y\ z'
les coordonnées du point m'; considérons encore deux points n et n'
extrêmement voisins l'un de l'autre et placés par rapport au plan B',
de même que m et m! sont placés par rapport au plan A' : c'est-à-dire
qu'en désignant par ^ la distance perpendiculaire des deux sections A'
et B', les coordonnées du point n seront or, j', 2 -h ^ et celles du
point n' seront x\y\ jz'h-C Les deux distances mm!, et nn' seront
égales; de plus, la différence de la température v du point m à la tem-
pérature s^' du point m! sera la même que la différence des températures
des deux points n et n\ En effet, cette première différence se détermi-
nera en substituant s, et ensuite z\ dans l'équation générale
h — a
e
et retranchant la seconde équation de la première. On en conclura
(^— /= {z — z);
on trouvera ensuite, par les substitutions de 2 -h î et s' 4- ^, que l'excès
CHAPITRE ï. - INTRODUCTION. ki
de la température du point n sur celle du point n' a aussi pour expres-
sion - ^^^(5 — z'). Il suit de là que la quantité de chaleur envoyée par
le point m au point m' sera la même que la quantité de chaleur envoyée
par le point n au point n'; car tous les éléments qui concourent à dé-
terminer cette quantité de chaleur transmise sont les mêmes.
Il est manifeste que Ton peut appliquer le même raisonnement à
tous les systèmes de deux molécules qui se communiquent de la cha-
leur a travers la section A' ou la section B'; donc, si Ton pouvait re-
cueillir toute la quantité de chaleur qui s'écoule, pendant un mémo
instant, à travers la section A' ou la section B', on trouverait que cette
quantité est la même pour les deux sections.
Il en résulte que la partie du solide comprise entre A' et B' reçoit
toujours autant de chaleur qu'elle en perd; et comme cette consé-
quence s'applique à une portion quelconque de la masse comprise
entre deux sections parallèles, il est évident qu'aucune partie du
solide ne peut acquérir une température plus élevée que celle qu'elle
a présentement. Ainsi il est rigoureusement démontré que l'état du
prisme subsistera continuellement tel qu'il était d'abord.
Donc les températures permanentes des différentes sections d'un
solide compris entre les deux plans parallèles infinis sont représentées
par les ordonnées de la ligne droite a^ et satisfont à l'équation linéaire
b — a
r = « H z,
«- e
66.
On voit distinctement, par ce qui précède, en quoi consiste la pro-
pagation de la chaleur dans un solide compris. entre deux plans paral-
lèles et infinis, dont chacun est maintenu à une température constante.
La chaleur pénètre successivement dans la masse à travers la base
inférieure; les températures des sections intermédiaires s'élèvent et
ne peuvent jamais surpasser, ni même atteindre entièrement, une cer-
taine limite dont elles s'approchent de plus en plus : cette limite ou
F, 6
i2 THEORIE DE LA CHALEUR.
température finale est difTérente pour les dilTérentes couches intermé-
diaires, et elle décroit, en progression arithmétique, depuis la tempé-
rature fixe du plan inférieur jusqu'à la température fixe du plan supé-
rieur.
Les températures finales sont celles qu*il faudrait donner au solide
pour que son état fût permanent; Télat variable qui le précède peut
être aussi soumis au calcul, comme on le verra par la suite; mais nous
ne considérons ici que le système des températures finales et perma-
nentes. Dans ce dernier état, il s'écoule, pendant chaque division du
temps, à travers une section parallèle à la hase ou une portion déter-
minée de cette section, une certaine quantité de chaleur, qui est con-
stante si les divisions du temps sont égales. Ce flux uniforme est le
même pour toutes les sections intermédiaires; il est égal à celui qui
sort du foyer et à celui que perd, dans le même temps, la surface supé-
rieure du solide en vertu de la cause qui maintient la température.
67.
Il s'agit maintenant de mesurer cette quantité de chaleur qui se
propage uniformément dans le solide, pendant un temps donné, à tra-
vers une partie déterminée d'une section parallèle a la base : elle dé-
pend, comme on va le voir, des deux températures extrêmes a et h et
Fig. a.
r' x
i;
h'
\
\
L
\
r, \
rz - A.
6' » \ e
I . - -. \ _. j. .
a a'
de la distance e des deux bases; elle varierait si l'un quelconque de
ces éléments venait à changer, les autres demeurant les mêmes. Sup-
posons un second solide, formé de la même substance que le premier,
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 43
et compris entre deux plans parallèles infinis dont la dislance perpen-
diculaire est e' [fig. 2); la base inférieure est entretenue à la tempé-
rature fixe a\ et la base supérieure à la température fixe h'\ l'un et
l'autre solides sont considérés dans cet état final et permanent qui a la
propriété de se conserver lui-même dès qu'il est formé. Ainsi, v étant
dans le premier solide, et u dans le second, la température de la sec-
tion dont :; est la hauteur, la loi des températures est exprimée, pour
le premier corps, par l'équation
h — a
t' r=: a -h
et, pour le second, par l'équation
, b' - a'
e
I "^*
Cela posé, on comparera la quantité de chaleur qui, pendant l'unité
de temps, traverse une étendue égale à l'unité de surface prise sur une
section intermédiaire L du premier solide à celle qui, pendant le même
temps, traverse une égale étendue prise sur la section V du second,
£ étant la hauteur commune de ces deux sections, c'est-à-dire la distance
de cJiacune d'elles à la base inférieure. On considérera dans le premier
corps deux points n et n' extrêmement voisins, dont l'un n est au-
dessous du plan L et l'autre n' au-dessus de ce plan; x, y, z sont les
coordonnées de /i, et x\y^ 5' les coordonnées de n\ e étant moindre
que z' et plus grand que z. On considérera aussi dans le second solide
l'action instantanée de deux points p et p' qui sont placés, par rapport
à la section L', de mêitie que les points n et n' par rapport k la section L
du premier solide. Ainsi les mêmes coordonnées a?, j, z et x\ y\ z\
rapportées à trois axes rectangulaires dans le second corps, fixeront
aussi la position des points p et p\
Or la distance du point n au point n' est égale à la distance du
point p au point/?', et, comme les deux corps sont formés de la même
substance, on en conclut, suivant le principe de la communication de
la chaleur, que l'action de n sur n\ ou la quantité de chaleur donnée
W THEORIE DE LA CHALEUR.
par n à n\ et Inaction de/? sur/?' ont entre elles le même rapport que
les différences de températures t^ — v»' et u — u\
En substituant i^, et ensuite v\ dans Téquation qui convient au pre-
mier solide et retranchant, on trouve
/ b — a ,
on a aussi, au moyen de la seconde équation,
U — U'=z—^, -(5 — 5');
donc le rapport des deux actions dont il s'agit est celui de ^^—
. a'—b'
a — —'
e'
On peut concevoir maintenant plusieurs autres systèmes de deux
molécules dont la première envoie à la seconde, à travers le plan L,
une certaine quantité de chaleur, et, chacun de ces systèmes choisis
dans le premier solide pouvant être comparé à un système homologue
placé dans le second et dont l'action s'exerce à travers la section L',
on appliquera encore le raisonnement précédent pour prouver que le
rapport des deux actions est toujours celui de "^ ' ^ — ? —
Or la quantité totale de chaleur qui, pendant un instant, traverse la
section L résulte de l'action simultanée d'une multitude de svstèmes
dont chacun est formé de deux points; donc cette quantité de chaleur
et celle qui, dans le second solide, traverse pendant le même instant
la section L' ont aussi entre elles le rapport de ^ à — ~, — •
Il est donc facile de comparer entre elles les intensités des flux con-
stants de chaleur qui se propagent uniformément dans l'un et l'autre
solide, c'est-à-dire les quantités de chaleur qui, pendant Tunité do
temps, traversent l'unité de surface dans chacun de ces corps. Le rap-
port de ces deux intensités est celui des deux quotients ~ et - "7 •
Si les deux quotients sont égaux, les flux sont les mêmes, quelles que
CHAPITRE I. ~ INTRODUCTION. k6
soient d'ailleurs les valeurs a, b, e; a\ b\ e'; en général, en désignant
par F le premier flux, et par F' le second, on aura
F a-b a'—b'
F' e ' e
68.
/
Supposons que, dans le second solide, la température permanente a'
du plan inférieur soit celle de Teau bouillante i; que la température //
du plan supérieur soit celle de la glace fondante o; que la distance e'
des deux plans soit l'unité de mesure (un mètre); désignons par K le
flux constant de chaleur qui, pendant l'unité de temps (une minute),-
traverserait l'unité de surface dans ce dernier solide, s'il était formé
d'une substance donnée, K exprimant un certain nombre d'unités de
chaleur, c'est-à-dire un certain nombre de fois la chaleur nécessaire
pour convertir en eau un kilogramme de glace; on aura, en général,
pour déterminer le flux constant F, dans un solide formé de cette
même substance, l'équation
F a — b n,r« — b
r=^ ■=. OU F = K
K e e
La valeur de F est celle de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité
de teniips, passe à travers une étendue égale à l'unité de surface, priso
sur une section parallèle a la base.
Ainsi l'état thermométrique d'un solide compris entre deux bases
parallèles inflnies, dont la distance perpendiculaire est e et qui sont
maintenues à des températures fixes a et 6, est représenté par les deux
équations
i> — a -I z, l =K — — ou F = — K -r •
e e ' dz
La première de ces équations exprime la loi suivant laquelle les
températures décroissent depuis la base inférieure jusqu'à la face
opposée; la seconde fait connaître la quantité de chaleur qui traverse,
46 THÉORIE DE LA CHALEUR.
pendant un temps donné, une partie déterminée d*une section parallèle
H la base.
69.
Nous avons choisi ce même coefficient K, qui entre dans la seconde
équation, pour la mesure de la conducibilité spécifique de chaque sub-
stance; ce nombre a des valeurs très différentes pour les différents
corps.
11 représente, en général, la quantité de chaleur qui, dans un solide
homogène formé d'une substance donnée et compris entre deux plans
parallèles infinis, s'écoule, pendant une minute, k travers une surface
d'un mètre carré prise sur une section parallèle aux plans extrêmes,
en supposant que ces deux plans sont entretenus, l'un à la tempéra-
ture de l'eau bouillante, l'autre à la température de la glace fondante,
et que tous les plans intermédiaires ont acquis et conservent une tem-
pérature permanente.
On pourrait employer une autre définition de la conducibilité;
comme on pourrait estimer la capacité de chaleur en la rapportant à
l'unité de volume, au lieu de la rapporter à l'unité de masse. Toutes
ces définitions sont équivalentes, pourvu qu'elles soient claires et pré-
cises.
Nous ferons connaître par la suite comment on peut déterminer par
l'observation la valeur K de la conducibilité ou conductibilité dans les
différentes substances.
70.
Pour établir les équations que nous avons rapportées dans l'ar-
ticle 68, il ne serait pas nécessaire de supposer que les points qui
exercent leur action à travers les plans sont extrêmement peu distants.
Les conséquences seraient encore les mêmes si les distances de ces
points avaient une grandeur quelconque; elles s'appliqueraient donc
aussi au cas où l'action immédiate de la chaleur se porterait dans l'in-
térieur de la masse jusqu'à des dislances assez considérables, toutes
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. W
les circonstances qui constituent Thypothcse demeurant d'ailleurs les
mêmes.
11 faut seulement supposer que la cause qui entretient les tempéra-
tures à la superficie du solide n'affecte pas seulement la partie de la
masse qui est extrêmement voisine de la surface, mais que son action
s'étend jusqu'à une profondeur finie. L'équation
a
représentera encore dans ce cas les températures permanentes dn
solide. Le vrai sens de cette proposition est que, si l'on donnait à tous
les points de la masse les températures exprimées par l'équation, et si,
de plus, une cause quelconque agissant sur les deux tranches extrêmes
retenait toujours chacune de leurs molécules k la température que
cette même équation leur assigne, les points intérieurs du solide con-
serveraient sans aucun changement leur état initial.
Si l'on supposait que l'action d'un point de la masse pût s'étendre
jusqu'à une distance finie e, il faudrait que l'épaisseur des tranches
extrêmes, dont l'état est maintenu par la cause extérieure, fût au
moins égale à e. Mais la quantité e n'ayant en effet, dans l'état naturel
des solides, qu'une valeur inappréciable, on doit faire abstraction de
cette épaisseur, et il suffit que la cause extérieure agisse sur chacune
des deux couches extrêmement petites qui terminent le solide. C'est
toujours ce que l'on doit entendre par cette expression : entretenir la
température constante de la surface.
71.
Nous allons encore examiner le cas où le même solide serait exposé,
par l'une de ses faces, à l'air atmosphérique entretenu à une tempéra-
ture constante.
Supposons donc que ce plan inférieur conserve, en vertu d'une cause
extérieure quelconque, la température fixe a, et que le plan supé-
rieur, au lieu d'être retenu, comme précédemment, à une température
hS THÉORIE DE LA CHALEUR.
moindre b, est exposé à Pair atmosphérique maintenu à cette tempéra-
ture b, la distance perpendiculaire des deux plans étant toujours dési-
gnée par e : il s'agit de déterminer les températures finales.
En supposant que» dans Tétat initial du solide, la température com-
mune de ses molécules est b ou moindre que 6, on se représente
facilement que la chaleur qui sort incessamment du foyer A pénètre
la masse et élève de plus en plus les températures des sections inter-
médiaires; la surface supérieure s'échauffe successivement et elle
laisse échapper dans l'air une partie de la chaleur qui a pénétré le
solide. Le système des températures s'approche continuellement d'un
dernier état qui subsisterait de lui-même s'il était d'abord formé; dans
cet état final, qui est celui que nous considérons, la température du
plan B a une valeur fixe mais inconnue, que nous désignerons par ^,
et, comme le plan inférieur A conserve aussi une température perma-
nente a, le système des températures est représenté par l'équation
générale
ô — a
e
V désignant toujours la température fixe de la section dont la hauteur
est z. La quantité de chaleur qui s'écoule pendant l'unité de temps, à
travers une surface égale à l'unité et prise sur une section quelconque,
est K -i K désignant la conducibilité propre.
Il faut considérer maintenant que la surface supérieure B, dont la
température est [3, laisse échapper dans l'air une certaine quantité de
chaleur qui doit être précisément égale à celle qui traverse une section
quelconque L du solide. S'il n'en était pas ainsi, la partie de la masse
qui est comprise entre cette section L et le plan B ne recevrait point
une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd; donc elle ne con-
serverait point son état, ce qui est contre l'hypothèse; donc le flux
constant de la surface est égal à celui qui traverse le solide : or la
quantité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de
surface prise sur le plan B, est exprimée par A(p — b), b étant la tem-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 49
pératurc fixe de l'air et h la mesure de la conducibililc de la surface B,
on doit donc former l'équation
K^ = A((3-f.),
qui fera connaître la valeur de ^.
On en déduit
f. he{a — b)
^ he -h k
équation dont le second membre est connu; car les températures a
et b sont données, ainsi que les quantités A, K, e.
En mettant cette valeur de a — p dans l'équation générale
S — «
e
on aura, pour exprimer les températures de toutes les sections du
solide, Téquation
hz{a — b)
lte-{- K
dans laquelle il n'entre que des quantités connues et les variables cor-
respondantes ^ et z.
72.
»
Nous avons déterminé jusqu'ici Tétat final et permanent des tempé-
ratures dans un solide compris entre deux surfaces planes, infinies et
|)arallèles, entretenues à des températures inégales. Ce premier cas
est, à proprement parler, celui de la propagation linéaire et uniforme,
car il n'y a point de transport de chaleur dans le plan parallèle aux
bases; celle qui traverse le solide s'écoule uniformément, puisque la
valeur du flux est la même pour tous les instants et pour toutes les
sections.
Nous allons rappeler les trois propositions principales qui résultent
de l'examen de cette question; elles sont susceptibles d'un grand
nombre d'applications et forment les premiers éléments de notre
théorie.
F. 7
50 THÉORIE DE LA CHALEIJH.
1° Si l'on élève aux deux extrémités de la hauteur e du solide deux
perpendiculaires qui représentent les températures « et 6 des deux
bases, et si l'on mène une droite qui joigne les extrémités de ces
deux premières ordonnées, toutes les températures intermédiaires
seront proportionnelles aux ordonnées de cette droite; elles sont ex-
primées par l'équation générale
a—b
a — rm -J,
e
Kf désignant la température de la section dont la hauteur est :;.
2^ La quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'u-
nité de temps, à travers l'unité de surface prise sur une section quel-
conque parallèle aux bases est, toutes choses d'ailleurs égales, en
raison directe de la différence a — h des températures extrêmes, et en
raison inverse de la distance e qui sépare ces bases. Cette quantité de
chaleur est exprimée par K ou — K^r:» en déduisant de l'équa-
C Cil»
tion générale la valeur de -^_y qui est constante; ce flux uniforme est
toujours représenté, pour une substance donnée et dans le solide dont
il s'agit, par la tangente de l'angle compris entre la perpendiculaire e
et la droite dont les ordonnées représentent les températures.
3° Si, l'une des surfaces extrêmes du solide étant toujours assujettie
à la température a, l'autre plan est exposé à l'air maintenu à une tem-
pérature fixe i, ce plan en contact avec l'air acquiert, comme dans le
cas précédent, une température fixe p plus grande que 6, et laisse
échapper dans l'air, à travers l'unité de surface, pendant l'unité de
temps, une quantité de chaleur exprimée par h{^ — i), h désignant la
conducibilité extérieure du plan.
Ce même flux de chaleur A((î — h) est égal à celui qui traverse le
prisme et dont la valeur est K(a — p) ; on a donc l'équation
/,(;3-.^) = K-^ ^
qui donne la valeur de p.
CHAPITRE I, - INTRODUCTION. 51
SECTION V.
LOI DES TEMPÉRATURES PERMANENTES DANS UN PRISME D*UNE PETITE ÉPAISSEUR.
73.
On appliquera facilement les principes qui viennent d'être exposés k
la question suivante, qui est très simple en elle-même, mais dont il
importait de. fonder la solution sur une théorie exacte.
Une barre métallique, dont la forme est celle d'un parallélépipède
rectangle d'une longueur infinie, est exposée à l'action d'un foyer do
chaleur qui donne à tous les points de son extrémité A une tempéra-
ture constante. Il s'agit de déterminer les températures fixes des diffé-
rentes sections de la barre.
On suppose que la sectix)n perpendiculaire à l'axe est un carré dont
le côté il est assez petit pour que l'on puisse, sans erreur sensible,
regarder comme égales les températures des différents points d'une
même section. L'air dans lequel la barre est placée est entretenu à une
température constante o, et emporté par un courant d'une vitesse
uniforme.
4
La chaleur passera successivement dans l'intérieur du solide; toutes
ses parties situées à la droite du foyer, et qui n'étaient point exposées
immédiatement à son action, s'échaufferont de plus en plus; mais la
température de chaque point ne pourra pas augmenter au delà d'un
certain terme. Ce maximum de température n'est pas le même pour
chaque section; il est en général d'autant moindre que cette section
est plus éloignée de l'origine; on désignera par v la température fixe
d'une section perpendiculaire à l'axe et placée à la distance x de l'o-
rigine A.
Avant que chaque point du solide ait atteint son plus haut degré de
chaleur, le système des températures varie continuellement et s'ap-
proche de plus en plus d'un état fixe, qui est celui que l'on considère.
52 THÉORIE DE L\. CHALEUR.
('et état final se conserverait de lui-même s'il était formé. Pour que 1<*
système des températures soit permanent, il est nécessaire que la quan-
tité de chaleur qui traverse, pendant Tunité de temps, une section
placée à la distance x de Torigine compense exactement toute la cha-
leur qui s*échappe, dans le même temps, par la partie de la surface
extérieure du prisme qui est située à la droite de la même section. La
tranche dont l'épaisseur est dx^ et dont la surface extérieure est Sldr,
laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de
chaleur exprimée par S/ihdx^ h étant la mesure de la conducibililé
extérieure du prisme. Donc, en prenant l'inléfçrale /8/iA'^/,r depuis
X =z o jusqu'à ^ = x> , on trouvera la quantité de chaleur qui sort de
toute la surface de la barre pendant l'unité de temps; et, si l'on prend
la même intégrale depuis x = o jusqu'à x = x, on aura la quantité de
chaleur perdue par la partie de la surface comprise entre le foyer et la
section placée à la distance x. Désignant par C la première intégrale
dont la valeur est constante et par fShhdv la valeur variable de la
seconde, la différence C—f8hli'dx exprimera la quantité totale de
chaleur qui s'échappe dans l'air à travers la partie de la surface placée
à la droite de la section. D'un autre côté, la tranche du solide, com-
prise entre deux sections infiniment voisines placées aux distances x
et x-hdx, doit être assimilée à un solide infini, terminé par deux
plans parallèles assujettis à des températures fixes r et r -+- d{\ puisque,
selon l'hypothèse, la température ne varie pas dans toute l'étendue
d'une même section. L'épaisseur du solide est dx et l'étendue de la
section est ^P : donc la quantité de chaleur qui s'écoule uniformé-
ment, pendant l'unité de temps, à travers une section de ce solide est,
d'après les principes précédents, — 4/=^K ^-y K étant la conducibilité
spécifique intérieure; on doit donc avoir l'équation
- 4/'K '-^^C -f^hlvdjc ou K/^' =. ihv.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 53
74.
On obtiendrait le même résultat en considérant l'équilibre de la
chaleur dans la seule tranche infiniment petite comprise entre les deux
sections dont les distances sont x et œ -h dx. En effet, la quantité de
chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse la première section
placée à la distance x^ est — 4/^K^- Pour trouver celle qui s'écoule
§
pendant le même temps, à travers la section suivante placée à la
distance x-hdx, il faut, dans l'expression précédente, changer x en
.r -h ctr, ce qui donne — 4^^K -r^ -h rf^-^^ j • Si Ton retranche cette
seconde expression de la première, on connaîtra combien la tranche
que terminent les deux sections acquiert de chaleur pendant Tunité
de temps; et, puisque l'état de cette tranche est permanent, il faudra
que toute cette chaleur acquise soit égale à celle qui se dissipe dans
l'air à travers la surface extérieure Sldx de cette même tranche; or
cette dernière quantité de chaleur est Shlvdv; on obtiendra donc la
même équation
Shlvdx=:^nKdf'^\ ou ^ = ?4i^
rf.r« ~"K/
75.
De quelque manière que l'on forme cette équation, il est nécessaire
de remarquer que la quantité de chaleur qui traverse la face de la
tranche dont la distance est x a une valeur finie, et que son expression
exacte est — ^l'^K -r-- Cette tranche étant comprise entre deux surfaces
dont la première a la température {^ et la seconde une température
moindre v^', on aperçoit d'abord que la quantité de chaleur qu'elle
reçoit par la première surface dépend de la. différence r — / et lui est
proportionnelle ; mais cette remarque ne suffit pas pour établir le calcul.
La quantité dont il s'agit n'est point une différentielle : elle a une
valeur finie, puisqu'elle équivaut à toute la chaleur qui sort par la
^ï THÉORIE 1)Ë LA CUALELK.
parlie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de
la section. Pour s*en former une idée exacte, il faut comparer la tranche
dont Tépaisscur est dx à un solide terminé par deux plans parallèles,
dont la distance est e et qui sont retenus à des températures inégales,
a et b. La quantité de chaleur qui pénètre dans un pareil prisme, à tra-
vers la surface la plus échauffée, est en effet proportionnelle à la dif-
férence a — b des températures extrêmes; mais elle ne dépend pas
seulement de cette différence : toutes choses d'ailleurs égales, elle est
d'autant moindre que le prisme a plus d'épaisseur, et, en général, elle
est proportionnelle à C'est pourquoi la quantité de chaleur qui
pénètre par la première surface dans la tranche dont l'épaisseur est dx
est proportionnelle à —.
Nous insistons sur cette remarque, parce que l'omission que l'on en
avait faite a été le premier obstacle à l'établissement de la théorie. En
ne faisant point une analyse complète des éléments de la question, on
obtenait une équation non homogène; et, à plus forte raison, on n'au-
rait pu former les équations qui expriment le mouvement de la chaleur
dans des cas plus composés.
Il était nécessaire aussi d'introduire dans le calcul les dimensions
du prisme, afin de ne point regarder comme générales les conséquences
que l'observation avait fournies dans un cas particulier. Ainsi l'on a
reconnu par l'expérience qu'une barre de fer, dont on échauffait l'ex-
trémité, ne pouvait acquérir, à G pieds de distance du foyer, une
température d'un degré (octogésimal); car, pour produire cet effet, il
faudrait que la chaleur du foyer surpassât beaucoup celle qui mettra
le fer en fusion; mais ce résultat dépend de l'épaisseur du prisme que
l'on a employé. Si elle eût été plus grande, la chaleur se serait pro-
pagée à une plus grande distance; c'est-à-dire que le point de la barre
qui acquiert une température fixe d'un degré est d'autant plus éloigné
du foyer que la barre a plus d'épaisseur, toutes les autres conditions
demeurant les mêmes. On peut toujours élever d'un degré la tempéra-
ture de l'extrémité d'un cylindre de fer en échauffant ce solide par son
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 55
autre extrémité; il ne faut que donner au rayon de la base une lon-
gueur suffisante; cela est, pour ainsi dire, évident, et d'ailleurs on on
trouvera la preuve dans la solution de la question étudiée plus loin
(art. 78).
76.
L'intégrale de l'équation précédente est
A et B étant deux constantes arbitraires; or, si l'on suppose la dislance
X infinie, la valeur de la tempéralurer doit être infiniment petite; donr
le terme Be? ^^ ne subsiste point dans l'intégrale; ainsi l'équation
i' = Ae?
K/
représente l'état permanent du solide; la température à l'origine est
désignée par la constante A, puisqu'elle est la valeur do 9 lorsque x
est nulle.
Cette même loi suivant laquelle les températures décroissent est
donnée aussi par l'expérience; plusieurs physiciens ont observé les
températures fixes des diflerents points d'une barre métallique exposée
par son extrémité à l'action constante d'un foyer de chaleur, et ils ont
reconnu que les distances à l'origine représentent les logarithmes, et
les températures les nombres correspondants.
//.
La valeur numérique du quotient constant de deux températures
consécutives étant déterminée par l'observation, on en déduit facile-
ment celle du rapport j^ : car, en désignant par r,, r^ les températures
qui répondent aux distances a?,, ^r^, on aura
y K Xi — Xy
(
t
50 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Quant aux valeurs séparées de h et de K, on ne peut les déterminer
par des expériences de ce genre : il faut obser\'er aussi le mouvement
varié de la chaleur.
78.
Supposons que deux barres de même matière et de dimensions iné-
f,'ales soient assujetties vers leur extrémité à une même température A;
soient /, le côté de la section dans la première barre et 1^ le côté de la
section dans la seconde; on aura, pour exprimer les températures de
ces deux solide's, les équations
r,-Ae '^«^'s r,^Ae ''^«^'s
en désignant, dans le premier solide, par r, la température de la sec-
tion placée à la distance a?,, et, dans le second solide, par r^ la tempé-
rature de la section placée à la distance x^.
Lorsque ces deux barres seront parvenues à un état fixe, la tempé-
rature d'une section de la première, placée à une certaine distance du
lover, ne sera pas égale à la température d'une section de la seconde,
placée à la même distance du foyer; pour que les températures fixes
tussent égales, il faudrait que les distances fussent différentes. Si l'on
veut comparer entre elles les distances œ^ et ^a» comprises depuis
l'origine jusqu'aux points qui parviennent dans les deux barres à la
même température, on égalera les seconds membres des équations et
Ton en conclura
Ainsi les distances dont il s'agit sont entre elles comme les racines
carrées des épaisseurs.
79.
Si deux barres métalliques de dimensions égales, mais formées de
substances différentes, sont couvertes d'un même enduit qui puisse
leur donner une même conducibilité extérieure, et si elles sont as-
sujetties dans leur extrémité à une même température, la chaleur se
CHAPITRE 1. - JNTRODUCTION. 57
propagera plus facilement et à une plus grande distance de Torigine
dans celui des deux corps qui jouit d'une plus grande conducibilité.
Pour comparer entre elles les distances o^i et x^f comprises depuis
l'origine commune jusqu'aux points qui acquièrent une même tempé-
rature fixe, il faut, en désignant parK, et Kj les conducibilités res-
pectives des deux substances, écrire l'équation
e ^'^•' = e ^*'«' ou -iz=-— *.
«
Ainsi le rapport de deux conducibilités est celui des carrés des dis-
tances comprises entre l'origine commune et les points qui atteignent
une même température fixe.
80.
Il est facile de connaître combien il s'écoule de chaleur pendant
l'unité de temps par une section de la barre parvenue à son état fixe :
cette quantité a pour expression
— 4K/*^ ou ^As/2Kh?e '^'^',
ax
et, si on la prend à l'origine, on aura ^A\/2Khl^ pour la mesure de
la quantité de chaleur qui passe du foyer dans le solide pendant l'u-
nité de temps; ainsi la dépense de la source de chaleur est, toutes
choses d'ailleurs égales, proportionnelle à la racine carrée du cube de
l'épaisseur. On trouverait le même résultat, en prenant l'intégrale
J^hhdx depuis x nulle jusqu'à x infinie.
SECTION VI.
DE L*ÉCHAUFFBME^'T DES ESPACES CLOS.
81.
Nous ferons encore usage des théorèmes de l'article 72 dans la ques-
tion suivante dont la solution présente des applications utiles; elle
consiste à déterminer le degré d'échaufi*ement des espaces clos.
F. 8
58 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On suppose qu'un espace d'une forme quelconque, rempli d'air atmo-
sphérique, est fermé de toutes parts, et que toutes les parties de l'en-
ceinte sont homogènes et ont une épaisseur commune e, assez petite
pour que le rapport de la surface extérieure à la surface intérieure dif-
fère peu de l'unité. L'espace que cette enceinte termine est échauffé
par un foyer dont l'action est constante : par exemple, au moyen d'une
surfoce dont l'étendue est ç, et qui est entretenue à la température
permanente a.
On ne considère ici que la température moyenne de l'air contenu
dans l'espace, sans avoir égard à l'inégale distribution de la chaleur
dans cette masse d'air; ainsi l'on suppose que des causes subsistantes
en mêlent incessamment toutes les portions et rendent leur tempéra-
ture uniforme.
On voit d'abord que la chaleur qui sort continuellement du foyer se
répandra dans l'air environnant et pénétrera dans la masse dont l'en-
ceinte est formée, se dissipera en partie par la surface et passera dans
l'air extérieur, que l'on suppose entretenu à une température moins
élevée et permanente n. L'air intérieur s'échauffera de plus en plus; il
en sera de même de l'enceinte solide : le système des températures
s'approchera sans cesse d'un dernier état qui est l'objet de la question,
et qui aurait la propriété de subsister de lui-même et de se conserver
sans aucun changement, pourvu que la surface du foyer a fût maintenue
à la température a et l'air extérieur à la température n.
Dans cet état permanent que l'on veut déterminer, Tair intérieur
conserve une température fixe m; la température de la surface inté-
rieure s de l'enceinte solide a aussi une valeur fixe a; enfin la surface
extérieure s, qui termine cette enceinte, conserve une température h
moindre que a, mais plus grande que /i. Les quantités d, a, 5, e et n
sont connues, et les quantités m, aet b sont inconnues.
C'est dans l'excès de la température m sur celle de l'air extérieur n
que consiste le degré de réchauffement; il dépend évidemment de l'é-
tendue G de la surface échauffante et de sa température a; il dépend
aussi de l'épaisseur e de l'enceinte, de l'étendue s de la surface qui la
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 59
termine, de la facilité avec laquelle la chaleur pénètre sa surface inté-
rieure ou celle qui lui est opposée, enfin de la conducibilité spécifique
de la masse solide qui forme l'enceinte; car, si Tun quelconque de
ces éléments venait à être changé, les autres demeurant les mêmes, le
degré de l'échaufi^ement varierait aussi. Il s'agit de déterminer com-
ment toutes ces quantités entrent dans la valeur de m — n.
82.
L'enceinte solide est terminée par deux surfaces égales, dont chacune
est maintenue à une température fixe; chaque élément prismatique du
solide compris entre deux portions opposées de ces surfaces et les nor-
males élevées sur le contour des bases est donc dans le même état que
s'il appartenait à un solide infini compris entre deux plans parallèles,
entretenus à des températures inégales. Tous les éléments prisma-
tiques qui composent l'enceinte se touchent suivant toute leur lon-
gueur. Les points de la masse qui sont à égale distance de la surface
intérieure ont des températures égales, à quelque prisme qu'ils appar-
tiennent; par conséquent, il ne peut y avoir aucun transport de cha-
leur dans le sens perpendiculaire à la longueur des prismes. Ce cas est
donc le même que celui que nous avons déjà traité, et l'on doit y appli-
quer les équations linéaires qui ont été rapportées plus haut.
83.
Ainsi, dans l'état permanent que nous considérons, le flux de cha-
leur qui sort de la surface pendant une unité de temps est égal k celui
qui passe, pendant le même temps, de l'air environnant dans la sur-
face intérieure de l'enceinte; il est égal aussi à celui qui traverse, pen-
dant l'unité de temps, une section intermédiaire faite dans l'enceinte
solide par une surface égale et parallèle à celles qui terminent cette
enceinte; enfin ce même flux est encore égal à celui qui passe de
l'enceinte solide à travers sa surface extérieure et se dissipe dans l'air.
Si ces quatre quantités de chaleur écoulées n'étaient point égales, il
60 THÉORIE DE LA CHALEUR.
surviendrait nécessairement quelque variation dans l'état des tempé-
ratures, ce qui est contre l'hypothèse.
La première quantité est exprimée par a{% — m)g, en désignant
par g la conducibilité extérieure de la surface a qui appartient au
foyer.
La seconde est s{m — a)A, le coefficient A étant la mesure de la
conducibilité extérieure de la surface s qui est exposée à l'action du
foyer.
La troisième est^ ~^ K, le coefficient K étant la mesure do la con-
e
ducibilité propre de la substance homogène qui forme l'enceinte.
La quatrième est 5(6 — /i)H, en désignant par H la conducibilité
extérieure de la surface s dont la chaleur sort pour se dissiper dans
l'air. Les coefficients A et H peuvent avoir des valeurs très inégales à
raison de la différence de l'état des deux surfaces qui terminent l'en-
ceinte; ils sont supposés connus ainsi que le coefficient K : on aura
donc, pour déterminer les trois quantités inconnues m, a et b^ les trois
équations
<7{oc — m)g:=zs{m — a)h,
(7(a — /n)^ = 5— — -K,
dt\ on doit donc avoir k la surface l'équation déter-
minée — K-p = A^. La nature de ces équations est expliquée avec
plus d'étendue, soit dans les articles qui se rapportent à la sphère,
soit dans ceux où l'on donne les équations générales pour un corps
d'une figure quelconque. La fonction ^, qui représente le mouvement
de la chaleur dans un cylindre infini, doit donc satisfaire :
i^ A Téquation générale
dt — CD \d^-* "^ X dx ''
qui a lieu quelles que soient x- et /;
F, i3
98 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tl" a l'équation déterminée
h dv
qui a lieu, quelle que soit la variable /, lorsque a: = X;
3^ A Téquation déterminée
cette dernière condition doit être remplie pour toutes les valeurs de v,
où Ton fait / = o, quelle que soit la variable x. La fonction arbi-
traire F(j?) est supposée connue et elle correspond à l'état initial.
SECTION IV.
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT UNIFORME DE LA CHALEUR DANS UN PRISME SOLIDE
D*UNE LONGUEUR INFINIE.
121.
Une barre prismatique est plongée par une de ses extrémités dans
une source constante de chaleur qui maintient cette extrémité à la
température A; le reste de cette barre, dont la longueur est infinie,
demeure exposé à un courant uniforme d*air atmosphérique entretenu
il la température o; il s'agit de déterminer la plus haute température
qu'un point donné de la barre puisse acquérir.
Cette question diffère de celle de l'article 73 en ce qu'on a égard ici
à toutes les dimensions du solide, ce qui est nécessaire pour que l'on
puisse obtenir une solution exacte. En effet, on est porté à supposer
que, dans une barre d'une très petite épaisseur, tous les points d'une
même tranche acquièrent des températures sensiblement égales ; cepen-
dant il peut rester quelque incertitude sur les résultats de cette suppo-
sition. Il est donc préférable de résoudre la question rigoureusement
et d'examiner ensuite, par le calcul, jusqu'à quel point et dans quel cas
on est fondé ii regarder comme égales les températures des divers
points d'une même section.
CHAPITRE IL - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 99
122.
La section faite perpendicuiairement à la longueur de la barre est un
carré dont le côté est 2/; Taxe de la barre est Taxe des x et l'origine
est à l'extrémité A. Les trois coordonnées rectangulaires d'un point de
la barre sont a?, j^, z; la température fixe du même point est désignée
par ^.
La question consiste à déterminer les températures que l'on doit
donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de sub-
sister sans aucun changement, tandis que la surface extrême A qui
communique avec la source de chaleur demeure assujettie, dans tous
ses points, à la température permanente A : ainsi v est une fonction
de Xy de v et de z.
123.
On considérera le mouvement de la chaleur dans une molécule pris-
matique, comprise entre six plans perpendiculaires aux trois axes
des Xy des j et des z. Les trois premiers plans passent par le point m
dont les coordonnées sont x^y^ z, et les autres passent par le point m!
dont les coordonnées sont x 4- dx^ y h- rfj, z h- dz.
Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps,
pénètre dans la molécule, à travers le premier plan passant par le
point m et perpendiculaire aux a?, il faut considérer que la surface de
la molécule qui est située sur ce plan a pour étendue dzdy, et que le
flux qui traverse cette aire est égal, suivant le théorème de l'article 98,
à — K j-\ ainsi la molécule reçoit, à travers le rectangle dxdy pas-
sant par le point m, une quantité de chaleur exprimée par
Pour trouver la quantité de chaleur qui traverse la face opposée et sort
de la molécule, il faut substituer, dans l'expression précédente, x-\-dx
à X ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa diffé-
100 THEORIE DE LA CHALEl R.
renlielle prise par rapport à x seulement; on en conclut que la niolé-
rulo perd, par sa seconde face perpendiculaire aux *r, une quantité de
chaleur équivalente à
— KdzdY^ — K dz dv -c- ( -r^ ) djci
' dx * à.r\ÔJcJ
on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la
lace opposée; la différence de ces deux quantités est
Kdzdfdx-^;
elle exprime combien il s'accumule de chaleur dans la molécule, à
raison de la propagation suivant le sens des x; et cette chaleur accu-
mulée ferait varier la température de la molécule, si elle n'était point
compensée par celle qui se perd dans un autre sens.
On trouve, de la même manière, qu'à travers le plan perpendiculaire
aux y et passant par le point m, il entre dans la molécule une quan-
tité de chaleur égale à
— K.dz dx -7— )
ÔY
et que la quantité qui sort par la face opposée est
— Kdzdjc- Kdz dx d^r- »
ôy ôy
cette dernière différentielle étant prise par rapport à y seulement.
Donc la différence de ces deux quantités, ou
K dz dx dy -r— r >
exprime combien la molécule acquiert de chaleur, à raison de la pro-
pagation dans le sens des y.
Enfin on démontre de même que la molécule acquiert, à raison de
la propagation dans le sens des ;;, une quantité de chaleur égale à
C^* i'
K dx dy dz -r^ •
OZ'
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 101
Op, pour qu'elle ne change point de température, il est nécessaire
qu'elle conserve autant de chaleur qu'elle en contenait d'abord, en
sorle que ce qu'elle en acquiert dans un sens serve à compenser ce
qu'elle en perd dans un autre. Donc la somme des trois quantités de
chaleur acquises doit être nulle, et l'on forme ainsi l'équation
()*r d^r d'V _
124.
Il reste maintenant à exprimer les conditions relatives à la surface.
Si l'on suppose que le point m appartient h l'une des faces de la barre
prismatique et que cette face est perpendiculaire aux 2, on voit que le
rectangle dxdy laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps,
une quantité de chaleur égale à
h dx dfV,
en désignant par V la température du point m à la surface, c'est-à-dire
ce que devient la fonction cherchée 9(0:, j, s) lorsqu'on fait :; = /,
demi-largeur du prisme. D'un autre côté, la quantité de chaleur qui,
en vertu de l'action des molécules, traverse pendant l'unité de temps
une surface infiniment petite (o, située dans l'intérieur du prisme
perpendiculairement aux z^ est, d'après les théorèmes cités, égale ii
— Kw;p- Cette expression est générale et, en l'appliquant aux points
pour lesquels la coordonnée 5 a sa valeur complète /, on en conclut que
la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdy^ placé à la super-
ficie, est
— Kdx dy -T-y
" dz
en donnant à z dans la fonction ^ sa valeur complète /. Donc les deux
quantités ^^^dxdy-^z et hdxdyv doivent être égales, pour que l'ac-
tion des molécules convienne avec celle du milieu. Cette égalité doit
102 THÉORIE DE LA CHALEUR.
aussi subsister si l'on donne à z dans les fonctions 3^ et (^ la valeur — /,
oz
ce qui a lieu pour la face opposée à celle que Ton considérait d'abord.
De plus, la quantité de chaleur qui traverse une surface plane infini-
ment petite (o, perpendiculaire à Taxe des j, étant — Kco-r-;» il s'ensuit
que celle qui s'écoule à travers un rectangle dxdz, placé sur une face
du prisme perpendiculaire aux j, est
— Kdxdz-^y
ày
on donnant à y dans la fonction -^ sa valeur complète /. Or ce rec-
tangle dxdz laisse échapper dans l'air une quantité de chaleur
exprimée par
h dx dz V ;
il est donc nécessaire que l'on ait l'équation
/M' HZ— K 3-1
ày
lorsqu'on fait y = /, ou y = — /, dans les fonctions r et -^-^ •
ày
125.
La valeur de la fonction s^ doit être, par hypothèse, égale k A lors-
qu'on suppose X = 0, quelles que soient les valeurs dey et de z. Ainsi
la fonction cherchée s^ est déterminée par les conditions suivantes :
i^ Elle satisfait, pour toutes les valeurs de x, y, s, à l'équation
générale
2^ Elle satisfait à l'équation
K ày '
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 103
lorsque V équivaut à /, ou à — /, quelles que soient x et z, et à l'équa-
tion
h dv
lorsque z équivaut à /, ou à — /, quelles que soient a? et v;
3" Elle satisfait à Féquation
r = A,
lorsque a? = o, quelles que soient j et z.
SECTION V.
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDK.
126.
Un solide de forme cubique dont tous les points ont acquis une
même température est placé dans un courant uniforme d'air atmosphé-
rique, entretenu à la température o. II s'agit de déterminer les états
successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.
Le centre du cube est pris pour origine des coordonnées rectangu-
laires; les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les faces
sont les axes des a?, des j^ et des 5 ; 2/ est le côté du cube, s^ est la tem-
pérature à laquelle un point dont les coordonnées sont x, y^ z se trouve
abaissé après le temps t qui s'est écoulé depuis le commencement du
refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction r, qui
contient x, j, :; et t.
127.
Pour former l'équation générale à laquelle v doit satisfaire, on cher-
chera quel est le changement de température qu'une portion infiniment
petite du solide doit éprouver pendant l'instant dt, en vertu de l'action
des molécules qui en sont extrêmement voisines. On considérera donc-
une molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires; les
trois premiers passent par le point m dont les coordonnées sont x, y.
lOV THEORIE DE LA CHALEUR.
z, et les trois autres par le point m! dont les coordonnées sont x -\- dx^
y -h r/y, z 4- dz,
La quantité de chaleur qui pénètre pendant Tinstant dt dans la molé-
cule, à travers le premier rectangle dydz perpendiculaire aux x^ est
— Kdf.dz — dt,
et celle qui sort dans le même temps de la molécule, par la face
opposée, se trouve en mettant x 4- dx au lieu de x dans l'expression
précédente; elle est
{^f (Je
— K dy dz — dt — Kdy dzd ^ dt,
cette différentielle étant prise par rapport à x seulement. La quantité
de chaleur qui entre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le
premier rectangle dxdz perpendiculaire à Taxe des j, est
— - K dx dz -r— dt,
ov
et celle qui sort de la molécule, dans le même instant, par la face
opposée, est
— K djc dz -T- dt — K dœ dz d-^-dt,
a y or
h\ différentielle étant prise par rapport à y seulement. La quantité de
chaleur que la molécule reçoit pendant l'instant dt, par sa face infé-
rieure perpendiculaire a l'axe des z, est
— K d.v dy -^ dt
' dz
et celle qu'elle perd par la face opposée est
— l^dx dy -j^dt — Kdxdyd— dt,
uz (Jz
la différentielle étant prise par rapport à z seulement.
Il faut maintenant retrancher la somme de toutes les quantités de
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 105
chaleur qui sortent de la molécule de la somme des quantités qu*ello
reçoit, et la différence est ce qui détermine son accroissement de tem-
pérature pendant un instant : cette différence est
Kdydzd^r-'dt-^Kclxdzd-r-dt-hKdxdyd-^dt
ôjc dy ^ dz
ou
Kdrdydz(^^^^-^,-^-^Jdt.
128.
Si Ton divise la quantité que l'on vient de trouver par celle qui esl
nécessaire pour élever la molécule de la température o à la tempéra-
ture I, on connaîtra l'accroissement de température qui s'opërc pen-
dant l'instant dt. Or cette dernière quantité est CD dxdydz; car C
désigne la capacité de chaleur de la substance, D sa densité et dœdydz
le volume de la molécule. On a donc, pour exprimer le mouvement dr
la chaleur dans l'intérieur du solide, l'équation
^^ dt "" CD V
et celle qui à la superficie s'échappe dans l'air à travers ce même rec-
tangle étant
h dx dz V dty
il est nécessaire que l'on ait l'équation
At' 4- K ^- = G,
lorsquey = /ou = — /. Enfin on obtient pareillement l'équation déter-
minée
hç -h K -T- =0,
oz
qui doit être satisfaite lorsque s = / ou = — /.
130.
La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de la chaleur
dans l'intérieur d'un solide de forme cubique, doit donc être déter-
minée par les conditions suivantes :
I® Elle satisfait à l'équation générale
ôt "^ C D \dx* ^'dy^^ dz'')'
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 107
1^ Elle satisfait aux trois équations déterminées
/H' 4- K rr— == o> ^t' -h K -T- i=z o, /ip H- K ,,- =io,
ax à y dz
V
qui ont lieu lorsque a7 = =h/, y = ±1, z = =t l;
3** Si, dans la fonction v qui contient ^, y, z, t, on fait / = o,
quelles que soient les valeurs de x, y et z, on doit avoir, selon l'hypo-
thèse,
qui est la valeur initiale et commune de la température.
131.
L'équation à laquelle on est parvenu dans la question précédente
représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de tous les
solides. Quelle que soit en effet la forme du corps, il est manifeste
qu'en le décomposant en molécules prismatiques on obtiendra ce
même résultat. On pourrait donc se borner à démontrer ainsi l'équa-
tion de la propagation de la chaleur. Mais, afin de rendre plus com-
plète l'exposition des principes, et pour que l'on trouve rassemblés
dans un petit nombre d'articles consécutifs les théorèmes qui servent
à établir l'équation générale de la propagation dans l'intérieur des
solides et celle qui se rapporte à l'état de la surface, nous procéde-
rons, dans les deux Sections suivantes, a la recherche de ces équations,
indépendamment de toute question particulière et sans recourir aux
propositions élémentaires que nous avons expliquées dans l'Introduc-
tion.
SECTION VI.
ÉQUATION GÉNÉRALE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS L'iNTÉRIëUR DES SOLIDES.
132.
Théorème I. — Si les différents points d'une masse solide homogène,
comprise entre six plans rectangulaires, ont des températures actuelles
108 THÉORIE DE LA CHALEUR.
déterminées par l'équation linéaire
m
(a) {' =^ k — ax — by — cz
et si les molécules placées à la surface extérieure sur les six plans qui ter-
minent le prisme sont retenues par une cause quelconque à la température
exprimée par l'équation (a), toutes les molécules situées dans l'intérieur de
la masse conserveront d'eUes-mêmes leur température actuelle, en sorte quil
ne surviendra aucun changement dans l'état du prisme, (ç' désigne la tem-
pérature actuelle du point dont les coordonnées sont â?, y, z; A, a, 6,
c sont des coefficients constants.)
Pour démontrer cette proposition» considérons dans le solide trois
points quelconques m. M, [x, placés sur une même droite m(x que le
point M divise en deux parties égales; désignons par x, y, z les coor-
données du point m et par v sa température, par o^-f-a, j-h^, z -hy
les coordonnées du point (x et par iv sa température, par ^ — a, y — ^,
:? — Y les coordonnées du point m et par u sa température; on aura
i' = A — ax — by — cz^
«' = A — a(a: -f- a) — 6(/ -h (3) — c(;; 4- y),
u—k'-a{a:—a) — b{y — ^) — c{Z'-y);
d'où l'on conclut
i' — tv=: aa -h 6(3 4- cj/ et u — i^ = «a -h 6^ -+- cy.
Donc
V — IIP = f/ — i\
Or la quantité de chaleur qu'un point reçoit d'un autre dépend de
la distance des deux points et de la différence de leurs températures.
Donc l'action du point M sur le point (x est égale à l'action de m sur M ;
ainsi le point M reçoit autant de chaleur de m qu'il en envoie au
point [X.
On tirera la même conséquence quelles que soient la direction et la
grandeur de la ligne qui passerait par le point M, et que ce point divi-
serait en deux parties égales. Donc il est impossible que ce point
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 109
change de température; car il reçoit de toutes parts autant de chaleur
qu'il ert donne. Le même raisonnement s'applique aux autres points;
donc il ne pourra survenir aucun changement dans l'état du solide.
133.
Corollaire I.
Un solide étant compris entre deux plans infinis parallèles  et B,
on suppose que la température actuelle de ses différents points est
exprimée par l'équation i^ = i — z, et que les deux plans qui le ter-
minent sont retenus par une cause quelconque, l'une A k la tempéra-
ture 1 , et l'autre B à la température o : ce cas particulier sera donc
compris dans le lemme précédent, en faisant A = r, a = o, 6 = o,
r = I.
134.
Corollaire II.
Si Ton se représente dans l'intérieur du même solide un plan M
parallèle a ceux qui le terminent, on voit qu'il s'écoule à travers ce
plan une certaine quantité de chaleur pendant l'unité de jtemps; car
deux points très voisins, tels que m et n, dont l'un est au-dessous du
plan et l'autre au-dessus, sont inégalement échauffés; le premier, dont
la température est plus élevée, doit donc envoyer au second, pendant
chaque instant, une certaine quantité de chaleur qui, au reste, peut
être fort petite et même insensible, selon la nature du corps et la dis-
tance des deux molécules. Il en est de même de deux autres points
quelconques séparés par le plan. Le plus échauffé envoie à l'autre une
certaine quantité de chaleur et la somme de ces actions partielles, ou
de toutes les quantités de chaleur envoyées à travers le plan, compose
un flux continuel dont la valeur ne change point, puisque toutes les
molécules conservent leur température. 11 est facile de prouver que ce
/lux ou la quantité de chaleur qui trai^erse le plan M pendant V unité de
temps équivaut à celle qui traverse, pendant le même temps, un autre
110 THEORIE DE LA CHALEUR.
plan ^ parallèle au premier. En effet, la partie de la masse qui est com-
prise entre les deux surfaces M et N recevra continuellement, à tra-
vers le plan M, autant de chaleur qu'elle en perd à travers le plan N.
Si la quantité de chaleur qui, pénétrant au delà du plan M, entre dans
la partie de la masse que l'on considère n'était point égale à celle qui
en sort par la surface opposée N, le solide compris entre les deux sur-
faces acquerrait une nouvelle chaleur ou perdrait une partie de celle
qu'il a, et ses températures ne seraient point constantes, ce qui est con-
traire au lemme précédent.
135.
On prend pour mesure de la conducibilité spécifique d'une substance
donnée la quantité de chaleur qui, dans un solide infini formé de cette
substance et compris entre deux plans parallèles, s'écoule pendant
l'unité de temps à travers une surface égale à l'unité, et prise sur un
plan intermédiaire quelconque parallèle aux plans extérieurs, dont la
distance est égale h l'unité de mesure, et dont l'un est entretenu à la
température i, et l'autre k la température o. On désigne par le coef-
ficient K ce flux constant de chaleur qui traverse toute l'étendue du
prisme et qui est la mesure de la conducibilité.
136.
JLEMME.
Si ion suppose que toutes les températures du solide dont il s* agit dans
r article précédent sont multipliées par un nombre quelconque g^ en sorte
que l* équation des températures soit k' =z g — gz^ au lieu d'être ç^ = i — s,
et si les deux plans extérieurs sont entretenus, l'un à la température g^
et l'autre à la température o, le flux constant de chaleur^ dans cette
seconde hypothèse^ ou la quantité qui, pendant l'unité de temps, traverse
l'uiiité de sur/ace prise sur un plan intermédiaire parallèle aux bases, est
égale au premier flux K, multiplié par g.
En effet, puisque toutes les températures ont été augmentées dans
CHAPITRE IL- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 111
le rapport de i 'à g, les différences des températures des deux points
quelconques m et (x sont augmentées dans le même rapport. Donc,
suivant le principe de la communication de la chaleur, il faut, pour
connaître la quantité de chaleur que m envoie à pi dans la seconde
hypothèse, multiplier par g la quantité que ce point m envoyait à (x
dans la première. Il en serait de même de deux autres points quel-
conques. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan M résulte de
la somme de toutes les actions que les points m, m\ m", m!\ . . . situés
d'un même côté du plan exercent sur les points (jl, pi', pi", (x'', ...
situés de l'autre côté. Donc, si dans la première hypothèse le flux
constant est désigné par K, il sera égal à g^K lorsqu'on aura multiplié
toutes les températures par g.
137.
Théorème II.
Dans un prisme dont les températures constantes sont exprimées par
r équation
r = A — ax — by — cz,
et que terminent six plans rectangulaires dont tous les points sont entre-
tenus aux températures déterminées par l'équation précédente , la quantité
de chaleur qui i pendant l'unité de temps, traverse l'unité de surface y prise
sur un plan intermédiaire quelconque perpendiculaire aux z, est la même
que le flux constant dans un solide de même substance, qui serait compris
entre deux plans parallèles infinis, et pour lequel C équation des tempéra-
tures constantes serait
{>=^C — cz.
Pour le démontrer, considérons, dans le prisme et ensuite dans le
solide infini, deux points m et [^ extrêmement voisins et séparés par le
plan M perpendiculaire à l'axe des z, (x étant au-dessus du plan et m
au-dessous {flg. /j); choisissons au-dessous du même plan un point m'
tel que la perpendiculaire abaissée du point jx sur le plan soit aussi
perpendiculaire sur le milieu h de la distance mm\ Désignons para-,
112 THÉORIE DE LA CHALEUR.
r, z + h les coordonnées du point (x dont la température est tv, par
,r — a, j^ — p, z les coordonnées de m dont la température est v, ot
par a: -h a, y -t- p, 5 les coordonnées de m! dont la température est r'.
Flç. 4.
m h m'
L'action de m sur [jl ou la quantité de chaleur que m envoie à (i. pen-
dant un certain temps peut être exprimée par q[{f — w). Le facteur q
dépend de la distance /n(x et de la nature de la masse. L'action de m'
sur (x sera donc exprimée par q[^' — w^); et le facteur q est le même
que dans Texpression précédente; donc la somme des deux actions
de m sur [x et de rnf sur [jl, ou la quantité de chaleur que (x reçoit de
m et de m\ est exprimée par
Or, si les points m, [l, m' appartiennent au prisme, on a
tr ==: A — ajc — ùy — c{z -\- h),
V = A — a{a: — a) — b{y — j3) — cz,
i'' = A — a(a7 -ha) — ^(j-h j3) — cg;
et si ces mêmes points appartenaient au solide infini, on aurait, par
hypothèse,
fVziz c — c{z -+- h)y
V' =: C — CZ,
Dans le premier cas on trouve
et dans le second cas on a encore le même résultat. Donc la quantité
CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 113
(le chaleur que [/. reçoit de m et de m' dans la première hypothèse,
lorsque Téquation des températures constantes est
t' = A — ax — bv — cz,
équivaut à la quantité de chaleur que [/. reçoit de m et de m\ lorsque
l'équation des températures constantes est
On tirerait la même conséquence par rapport à trois autres points
quelconques m', [jl', m", pourvu que le second ]s! fut placé à égale dis-
tance des deux autres et que la hauteur du triangle isoscèle m'\)Jm!'
fût parallèle aux z. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan
quelconque M résulte de la somme des actions que tous les points m,
m^m!\ nT^ ... situés d'un côté de ce plan exercent sur tous les points [x,
jjl', jjl", [jl"', . . . situés de l'autre côté : donc le flux constant qui, pendant
l'unité de temps, traverse une partie déterminée du plan M dans lo
solide infmi est égale à la quantité de chaleur qui s'écoule dans le
même tempis à travers la même portion du plan M dans le prisme dont
les températures sont exprimées par l'équation
r = A — ax — hy — cz.
438.
Corollaire.
Le flux a pour valeur cK dans le solide inflni, lorsque la partie du
plan qu'il traverse est l'unité de surface. lia donc aussi dans le prisme
la même valeur cK o/^ — K -r- •
ôz
On prouve de la même manière que le flux constant qui a lieu, pen-
dant l'unité de temps, dans le même prisme à travers V unité de surface
sur un plan quelconque perpendiculaire aux y est égal à bK ou — ^"ÂZ'y
et que celui qui traverse le plan perpendiculaire aux x a pour valeur a K
,^ ôv
ou — K 3- •
ox
F, l '^
lit THÉORIE DE LA CHALEUR.
139.
Les propositions que l'on a démontrées dans les articles précédents
s'appliquent aussi au cas où l'action instantanée d'une molécule s'exer-
cerait dans l'intérieur de la masse, jusqu'à une distance appréciable.
Il faut, dans ce cas, supposer que la cause qui retient les tranches exté-
rieures des corps dans l'état exprimé par l'équation linéaire affecte la
masse jusqu'à une profondeur finie. Toutes les observations concourent
à prouver que, dans les solides et les liquides, la distance dont il s'agit
est extrêmement petite.
140.
Théorème III.
Si les températures des points d'un solide sont exprimées par l'équa-
tion
dans laquelle x, y^ z sont les coordonnées de la molécule dont la tem-
pérature est égale à v après le temps écoulé t, le flux de chaleur qui
traverse une partie d'un plan tracé dans le solide, et perpendiculaire à
l'un des trois axes, n'est plus constant; sa valeur est différente pour
les différentes parties du plan, et elle varie aussi avec le temps. Cette
quantité variable peut être déterminée par le calcul.
Soit co un cercle infiniment petit dont le centre coïncide avec le
point m du solide et dont le plan soit perpendiculaire à la coordonnée
verticale z\ il s'écoulera, pendant l'instant^/, à travers ce cercle, une
certaine quantité de chaleur qui passera de la partie du solide infé-
rieure au plan du cercle dans la partie supérieure. Ce flux se compose
de tous les rayons de chaleur qui partent d'un point inférieur et par-
viennent à un point supérieur, en traversant un point de la petite sur-
face (o. Nous allons démontrer que la vakur du flux a pour expression
oz
Désignons par x\ y\ z' les coordonnées du point m dont la tempéra-
CHAPITRE IL — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 115
ture est ^'; et supposons que Ton rapporte toutes les autres molécules
à ce point m choisi pour l'origine de trois nouveaux axes parallèles aux
précédents; soient Ç, y), X, les trois coordonnées d'un point rapporté à
l'origine m\ on aura, pour exprimer la température actuelle w d'une
molécule infiniment voisine de m, l'équation linéaire
Les coefficients i^\ -.— > -y- y ^ sont les valeurs que l'on trouve en sub-
dr dv az ^
stituant dans les fonctions f^, ^> -r-y ^> aux variables x, y, z, les
quantités constantes x\ y\ z' qui mesurent les distances du point m
aux trois premiers axes des x, des y, des z.
Supposons maintenant que le même point m soit aussi une molécule
intérieure d'un prisme rectangulaire compris entre six plans perpen-
diculaires aux trois axes dont m est l'origine; que la température
actuelle w de chaque molécule de ce prisme, dont les dimensions sont
finies, soit exprimée par l'équation linéaire w = A -ha^-hbri-hct,
et que les six faces qui terminent le prisme soient retenues aux tem-
pératures fixes que cette dernière équation leur assigne. L'état des
molécules intérieures sera aussi permanent et il s'écoulera, pendant
l'instant dt, à travers le cercle (o, une quantité de chaleur que mesure
l'expression — Kc(i)dt.
Cela posé, si l'on prend pour les valeurs des constantes A, a, b, r,
les quantités r, ^' x"» tst» 1 ^^^^ "^^ du prisme sera exprime par
l'équation
Ainsi les molécules infiniment voisines du point m auront, pendant
l'instant dt^ la même température actuelle dans le solide dont l'état
est variable, et dans le prisme dont l'état est constant. Donc le flux
qui a lieu au point m pendant l'instant di, à travers le cercle infi-
116 THEORIE DE LA CHALEUR.
niment petit o), est le même dans l'un et l'autre solide : donc il est
exprime par — K -p o) rf/.
On en conclut la proposition suivante :
Si dans un solide dont les températures intérieures varient avec le temps ,
en i^ertu de l* action des molécules, on trace une ligne droite quelconque et
que l'on élevé [fig* 5), aux différents points de cette ligne, les ordon-
Fig. 5.
m
m
V
y *
y
V
G
nées pm d'une courbe plane égales aux températures de ces points prises
au même instant, le flux de chaleur, en chaque point p de la droite, sera
oroportionnel à la tangente de V angle ol que fait l'élément de la courbe
avec la parallèle aux abscisses; c'est-à-dire que, si Ton plaçait au point/?
le centre d'un cercle infiniment petit (o perpendiculaire k la ligne, la
quantité de chaleur écoulée pendant un instant dt^ à travers ce cercle,
dans le sens suivant lequel les abscisses Op croissent, aurait pour
mesure le produit de quatre facteurs qui sont la tangente de l'angle a,
un coefficient constant K, l'aire co du cercle et la durée dt de l'instant*
141.
Corollaire.
Si l'on représente par e l'abscisse de cette courbe ou la distance
d'un point/) de la droite à un point fixe 0, et par v l'ordonnée qui
représente la température du point/?, v variera avec la distance £ et
sera une certaine fonction/(£) de cette distance; la quantité de cha-
CHAPITRE II.— ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 117
leur qui s'écoulerait à travers le cercle w, placé au point/? perpendi-
culairement à la ligne, sera
dv
— K-7-wc^/ ou —K/'{£)(M>dt,
en désignant par /"(e) la fonction , -
Nous donnerons à ce résultat l'expression suivante, qui facilite les
applications :
Pour connaître le fUix ax^tuel de la chaleur en un point p d'une droite
tracée dans un solide dont les températures varient par V action des mole-
rides, il faut diviser la différence des températures de deux points infi-
niment voisins du point p par la distance de ces points. Le flux est propor-
tionnel au quotient (' ).
\^^) Plus exactement il est égal à ce quotient multiplié par — Kw^/, K désignant tou-
jours le coefficient de conductibilité et &> la surface de Télément normal à la droite.
En déduisant les conséquences de cette règle, Fourier aurait pu simplifier son exposition
et éviter quelques incertitudes que nous signalerons plus loin.
Supposons, en effet, que l'on se propose de trouver le flux de chaleur qui s'écoule à tra-
vers un élément «>> dont la normale prise dans un sens déterminé fait avec les axes coor-
donnés les angles a, p, y. Soient x, r, z les coordonnées d'un point do l'élément; si nous
nous déplaçons suivant la normale en parcourant une longueur infiniment petite ^.r, nous
aurons évidemment, pour les différentielles de x^ r, z^ les valeurs
(Le = ds cos z, dr = ds cos p, dz = ds cosy
et, par conséquent,
dv = rr dv -h -r- dy -h rr dz =: dv l - cosa -f- -— cos [5 -f- -r- cosy J .
dx df ^ àz \ùx Oj ' dz '/
Le flux de chaleur étant, d après la règle de Fourier,
— K
et
celles d'un point q, infiniment voisin dep et marqué sur la droite dont
il s'agit. Désignons par ç^ et w les températures des deux points /> et g
prises pour le même instant; on aura
ôx dy '^ âz
^
donc le quotient t- est donné par l'équation
de
$if di^ èx di^ à y ()v oz
— ' * + -;- T-
de dx de dy àe âz as
126 THÉORIE DE LA CHALEUR.
oi Ton a d'ailleurs
ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule à travers la surface a>, placée
au point m perpendiculairement à la droite, est
\(7vP 0£ aj' Oe (75 Oc/
Le premier terme est le produit de — Ky parcfe et par oj-^- Cette
dernière quantité est, d'après les principes de la Géométrie, Taire de
la projection de (o sur le plan des j^s; ainsi le produit représente la
quantité de chaleur qui s'écoulerait à travers l'aire de la projection, si
on la plaçait au point/? perpendiculairement à l'axe des x.
Le second terme — K-pCo^*^^ représente la quantité de chaleur
qui traverserait la projection de co, faite sur le plan des xz^ si l'on pla-
çait cette projection au point/? parallèlement à elle-mênae.
Enfin, le troisième terme — K-r^co — rf/ représente la quantité de
chaleur qui s'écoulerait pendant l'instant dty à travers la projection
de co sur le plan des xy^ si l'on plaçait cette projection au point p per-
pendiculairement à la coordonnée z.
On voit par là que la quantité de chaleur qui s'écoule à tras^ers chaque
partie infiniment petite d'une surface tmcée dans l'intérieur du solide peut
toujours être décomposée en trois autres , qui pénétrent les trois projections
orthogonales de la surface selon les directions perpendiculaires aux plans
des projections. Ce résultat donne naissance à des propriétés analogues
à celles que l'on remarque dans la théorie des forces.
150.
La quantité de chaleur qui s'écoule à travers une surface plane infi-
niment petite (o, donnée de figure et de position, étant équivalente à
celle qui traverserait ses trois projections orthogonales, il s'ensuit que,
si l'on conçoit dans l'intérieur du solide un élément d'une figure quel-
CHAPITRE IL - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 127
conque, les quantités de chaleur qui pénètrent dans ce polyèdre par
ses différentes faces se compensent réciproquement; ou plus exac-
tement, la somme des termes du premier ordre qui entrent dans l'ex-
pression de ces quantités de chaleur reçues par la molécule est zéro;
en sorte que la chaleur qui s'y accumule en effet et fait varier sa tem-
pérature ne peut être exprimée que par des termes infiniment plus
petits que ceux du premier ordre.
On voit distinctement ce résultat lorsqu'on établit l'équation géné-
rale (A) en considérant le mouvement de la chaleur dans une molé-
cule prismatique (art. 127 et 142); on le démontre encore pour une
molécule d'une figure quelconque, en substituant à la chaleur reçue
par chaque face celle que recevraient ses trois projections.
Il est d'ailleurs nécessaire que cela soit ainsi : car, si une des molé-
cules du solide acquérait pendant chaque instant une quantité de cha-
leur exprimée par un terme du premier ordre, la variation de sa tem-
pérature serait infiniment plus grande que celle des autres molécules;
c'est-à-dire que, pendant chaque instant infiniment petit, sa tempéra-
ture augmenterait ou diminuerait d'une quantité finie, ce qui est
contraire à l'expérience.
151.
Nous allons appliquer cette remarque à une molécule placée à la
surface extérieure du solide.
Par un point a [fig. G), pris sur le plan des .ry, menons deux plans
Fi(î. 6.
1
b
e
1
_J
c
perpendiculaires, l'un à l'axe des a?, l'autre à l'axe des j. Par un autre
point b du même plan, infiniment voisin de a, menons aussi deux
128 THÉORIE DE LA CHALEUR.
plans parallèles aux deux précédents; les ordonnées z élevées aux
points a, b, c, c? jusqu'à la surface extérieure du solide marqueront
sur cette surface quatre points a\ b\ c\ d et seront les arêtes d'un
prisme tronqué dont la base est le rectangle ahcd. Si par le point a\
qui désigne le moins élevé des quatre points a\ h' , c\ d\ on fait passer
un plan parallèle à celui des ott, on retranchera du prisme tronqué
une molécule dont une des faces, savoir a!h'c'd\ se confond avec la
superficie du solide. Les valeurs des quatre ordonnées aa\ ce y dd\ hh'
sont les suivantes :
ce ^z -^ ~^- dXy
dd'^z 4- -T-^>>
152.
L'une des faces perpendiculaires aux x est un triangle, et la face
opposée est un trapèze. L'aire du triangle est
et le flux de chaleur dans la direction perpendiculaire à cettt^ surface
étant — K-t-» on a, en omettant le facteur dt,
-, di' dy dz ,
— K- — - ■T-fiy
OU' 2 ôy "
pour l'expression de la quantité de chaleur qui pénètre pendant un
instant dans la molécule, à travers le triangle dont il s'agit.
L'aire de la face opposée est
3*(
dz , àz , àz ,
aa: ojc ôy "
CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 129
et le flux perpendiculaire à cette face est aussi — K^> en supprimant
les termes du second ordre, infiniment plus petits que ceux du pre-
mier; on retranchera la quantité de chaleur qui sort par cette seconde
face de celle qui entre par la première, et Ton trouvera
K 3— 3- é/a? dy,
OJc ax
Ce terme exprime combien la molécule reçoit de chaleur par les
faces perpendiculaires aux x.
On trouvera par un calcul semblable que la même molécule reçoit
par les faces perpendiculaires aux y une quantité de chaleur égale a
dv àz
K 3- 3- ajc dy,
dy à y ^
La quantité de chaleur que la molécule reçoit par la base rectangu-
laire est
— K-T-dx dy.
dz
Enfin elle laisse échapper dans l'air, à travers la surface supé-
rieure a'b'cd\ une certaine quantité de chaleur égale au produit
de hv par l'étendue o) de cette surface. La vajeur de a> est, selon les
principes connus, celle de doody multipliée par le rapport -; i désigne
la longueur de la normale, depuis la surface extérieure jusqu'au plan
des xy^ et l'on a
donc la molécule perd à travers sa surface alh'cd une quantité de
chaleur égale à
hv dxdy -'
Or les termes du premier ordre qui entrent dans l'expression de la
quantité totale de chaleur acquise par la molécule doivent se détruire,
F. 17
130 THÉORIE DE LA CHALEUR.
pour que la variation des températures ne soit pas à chaque instant
une quantité finie ; on doit donc avoir l'équation ( * )
V
V àv dz , , V à^f âz , , V ai' , j i £ j j
K ^ — ^r- ax ay -f- K -- — ^-dx dy — K -r-dxdy — /w - dx dy = o
dx dx ^ df ày '^^ dz -^ z -^
OU
h t dv as ôv âz dv
K z dx dx dy dy dz
153.
En mettant pour j- ^^ -r- leurs valeurs tirées de Téquation
m dx -{- n dy -h p dz z=z o
(*) Ici encore il y a défaut de précision dans l'établissement de l'équation à la surface.
La méthode suivie par Fourier suppose, ce qui peut fort bien ne pas arriver, que le solide
dont il considère toutes les faces soit placé à l'intérieur du corps.
Au reste, on obtient immédiatement celte équation si l'on évalue, d*après la règle donnée
dans une Note précédente (p. 117), le flux de chaleur qui passe à travers un élément infi-
niment petit (u de la surface ; %, p, 7 désignant les angles que fait avec les axes la normale
extffrieure au corps, le flux a pour expression
- K w rt/ ( ^- cos a -+- -r- cos P ^- t: C0S7 \ .
v- cos a -+- -r-
âx dy
Comme il doit être égal à /«(^((^ — ^), Ç désignant la température extérieure au contact
de l'élément, on a
(B ) K ( — COSa -+- ^COS? -h ^ COS7J -h /i{v- K) = o.
En faisant Ç = o et en remplaçant les cosinus par leurs valeurs déduites des équations
cosît _ cos^ _ C0S7 _ r+: I
m II
P ^m?" -+- //' H- /?*
on retrouve Téquation (B), mais avec un signe parfaitement déterminé pour le radical q.
L'équation (B'), donnée plus haut, peut encore s'écrire
(B') _K^+/-(i'-!:) = o,
•T^ désignant la dérivée do v suivant la normale à la surface, intérieure au corps.
G. D.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 131
et désignant par q la quantité {m^ h- n^ -^p^)^ , on a
(B) Km _ + K/i ^ + K/. ^ + /MV7 = o;
on connaît ainsi d'une manière distincte ce que représente chacun des
termes de cette équation.
En les prenant tous avec des signes contraires et les multipliant par
le rectangle dxdy^ le premier exprime combien la molécule reçoit de
chaleur par les deux faces perpendiculaires aux Xy le deuxième combien
elle en reçoit par ses deux faces perpendiculaires aux y, le troisième
combien elle en reçoit par la face perpendiculaire aux s, et le qua-
trième combien elle en reçoit du milieu. L'équation exprime donc que
la somme de tous ces termes du premier ordre est nulle, et que la cha-
leur acquise ne peut être représentée que par des termes du second
ordre.
154.
Pour parvenir à cette équation (B), il faut considérer une des molé-
cules dont la base est à la surface du solide comme un vase qui reçoit
ou perd la chaleur par ses différentes faces. L'équation signifie que
tous les termes du premier ordre qui entrent dans l'expression de la
chaleur acquise se détruisent mutuellement, en sorte que cet accrois-
sement de chaleur ne peut être exprimé que par des termes du second
ordre. On peut donner à cette molécule» ou la forme d'un prisme droit
dont l'axe est perpendiculaire à la surface du solide, ou celle d'un
prisme tronqué, ou une forme quelconque.
L'équation générale (A) suppose que tous les termes du premier
ordre se détruisent dans l'intérieur de la masse, ce qui est évident
pour des molécules prismatiques comprises dans le solide. L'équa-
tion (B) exprime le même résultat pour les molécules placées aux
limites des corps.
Tels sont les points de vue généraux sous lesquels on peut envisager
cette partie de la théorie de la chaleur.
132 . THÉORIE DE LA CHALEUR.
L'équation
représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur des corps. Ce
théorème fait connaître la distribution instantanée dans toutes les
substances solides ou liquides; on en pourrait déduire l'équation qui
convient à chaque cas particulier.
Nous ferons cette application, dans les deux articles suivants, à la
question du cylindre et à celle de la sphère.
SECTION VIII.
APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES.
155.
Désignons par rie rayon variable d'une enveloppe cylindrique quel-
conque et supposons, comme précédemment dans l'article 118, que
toutes les molécules également éloignées de l'axe ont à chaque instant
une température commune; ^ sera une fonction de r et /; r est une
fonction de y, s, donnée par l'équation r^= z^-hy^. Il est évident en
premier lieu que la variation de ç" par rapport à x est nulle; ainsi le
terme j-^ doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du
Calcul différentiel, les équations
di' âv âr d^v d^ v /^/'V àv d^r
âz~~âidz' d^ ~dr^\ôz) '^drdz^'
âi^ ^i' dr d^ç d^v /dr\^ dv d^r
donc
dr dr dy âf^ âr- \dyj dr dy**
^^^ âz* "^ ày* ~ âr^ l\dz) "^ \dyj J "^ dr\dz^ "^ ày^ )
Il faut remplacer dans le second membre les quantités
âr dr d^r d*/
dz^ dy^ dz* dy^
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 133
par leurs valeurs respectives; pour cela, on tirera de l'équation
dr /dry- d^r
■= r
dr /dry- fPr
et, par conséquent,
-■-"[(S"-(i)']-
d^r d^r
■ dY
/dry /dry fd^r
J ^
la première équat'ton» dont le premier membre est égal à r*, donne
/ dr\^ / dr\^
la seconde donne, lorsqu'on met pour (■^) '^\~â~) sa valeur i ,
d^r d^r _\
Si maintenant on substitue dans l'équation (a) les valeurs données
par les équations [b) et (c), on aura
d^v d-s^ d^i> I (^i'
dz^ dy- dr* r dr'
donc l'équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le
cylindre est
U " CD\dr^ ^ r dr
de
comme on l'a trouvé précédemment (art. H9).
On pourrait aussi ne point supposer que les molécules également
éloignées de l'axe ont reçu une température initiale commune; dans
ce cas on parviendrait à une équation beaucoup plus générale.
13'* THÉORIE DE LA CHALEUR.
156.
Pour déterminer, au moyen de Téquation (A), le mouvement de la
chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regar-
dera V comme une fonction de r et /; r est une fonction de x, y, z
donnée par l'équation
r étant le rayon variable d'une enveloppe. On aura ensuite
-r—
dx dr dx âx^ âr* \àxj dr dx^
dv dv dr d*i' d^v f dr\^ dv d*r
d/ dr dy dy^ dr^ \àf J dr df*
di' di> dr d^ v d^v / dr \ * dv d- r
dz^'d/dz' àz^ '"àr^ \d^ ) '^ dr dz^
En faisant les substitutions dans l'équation générale
àv_K^/d^ d^^ dUy\
de ^ C\) \dx^ "^ dj^ "^ dz^J
on aura
^^ dt "" C D I dr' l\dxj ^ \dfj \dzj }^ dr \dx^ ^ dy* dz* )
L'équation x^ -^y^ -h s* == r* fournit les résultats suivants :
_ dr^ _(àr_\ ,à^
dx \àx / dx*
dr /dry d'r
y ^=^ r
dr /dry d*r
Les trois équations du premier ordre donnent
■■— '■■[(©v(i)--(^-:r:i
■=(IM|v^^f^'
CHAPITRE Jl. - ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. 135
ou
y) \à^)
Les trois équations du second ordre donnent
et, mettant pour (x")+(i~)^"(x:) '* valeur i , on a
• d-r d*r d-r a ,
d.r* dy^ âz' r
Faisant les substitutions dans Téquation (a), on aura Téquation
qui est la même que celle de l'article 114.
L'équation contiendrait un plus grand nombre de termes si l'on ne
supposait point que les molécules également éloignées du centre ont
reçu la même température initiale.
On pourrait aussi déduire de l'équation déterminée (B) celles qui
expriment l'état de la surface dans les questions particulières où l'on
suppose qu'un solide d'une forme donnée communique sa chaleur à
l'air atmosphérique, mais le plus souvent ces équations se présentent
d'elles-mêmes, et la forme en est très simple lorsque les coordonnées
sont choisies convenablement.
SECTION IX.
REMARQUES OÉNfiRALES.
157.
La recherche des lois du mouvement de la chaleur dans les solides
consiste maintenant à intégrer les équations que nous avons rappor-
tées : c'est l'objet des Chapitres suivants; nous terminerons celui-ci
136 THÉORIE DE LA CHALEUR,
par des remarques générales sur la nature des quantités qui entrent
dans notre an(ilyse.
Pour mesurer ces quantités et les exprimer en nombres, on les com-
pare a diverses sortes d'unités, au nombre de cinq, savoir : l'unité de
longueur, l'unité de temps, celle de la température, celle du poids et
enfin l'unité qui sert à mesurer les quantités de chaleur. On aurait
pu choisir pour cette dernière unité la quantité de chaleur qui élève
un volume donné d'une certaine substance depuis la température o
jusqu'à la température i. Le choix de cette unité serait préférable a
plusieurs égards à celui de la quantité de chaleur nécessaire pour con-
vertir une masse de glace d'un poids donné en une masse pareille
d'eau, sans élever la température o. Nous n'avons adopté cette der-
nière unité que parce qu'elle était en quelque sorte fixée d'avance dans
plusieurs Ouvrages de Physique; au reste, cette supposition n'appor-
terait aucun changement dans les résultats du calcul.
158,
Les éléments spécifiques qui déterminent dans chaque corps les
effets mesurables de la chaleur sont au nombre de trois, savoir : la
conducibilité propre, la conducibilité relative à l'air atmosphérique et
la capacité de chaleur.
Les nombres qui expriment ces quantités sont, comme la pesanteur
spécifique, autant de caractères naturels propres aux diverses sub-
stances.
Nous avons déjà remarqué (art. 36) que la conducibilité de la sur-
face serait mesurée d'une manière plus exacte si l'on avait des obser-
vations suffisantes sur les effets de la chaleur rayonnante dans les
espaces vides d'air.
On peut voir, comme nous l'avons annoncé dans la Section I du Cha-
pitre I (art. 11), qu'il n'entre dans le calcul que trois coefficients
spécifiques K, A, C; ils doivent être déterminés par des observations
et nous indiquerons par la suite les expériences propres à les faire
connaître avec précision.
CHAPITRE 11. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 137
159.
Le nombre C, qui entre dans le calcul, est toujours multiplié par la
densité D, c'est-à-dire par le nombre d'unités de poids qui équivalent
au poids de l'unité de volume; ainsi ce produit CD peut être remplacé
par le coefficient c. Dans ce cas, on doit entendre, par capacité spéci-
fique de chaleur, la quantité nécessaire pour élever de la tempéra-
ture o à la température i l'unité de volume d'une substance donnée
et non l'unité de poids de cette substance. C'est pour ne pas s'éloigner
des définitions communes que l'on a rapporté dans cet Ouvrage la
capacité de chaleur au poids et non au volume; mais il serait préfé-
rable d'employer le coefficient c, tel que nous venons de le définir;
alors il n'entrera dans les expressions analytiques aucune grandeur
mesurée par l'unité de poids; on aura seulement à considérer :
I® La dimension linéaire x, la température {^ et le temps /;
2^ Les coefficients c, h et K.
Les trois premières quantités sonl des indéterminées, et les trois
autres sont, pour chaque substance, des éléments constants que l'ex-
périence fait connaître. Quant à l'unité de surface et à l'unité de vo-
lume, elles n'ont rien d'absolu et dépendent de l'unité de longueur.
160.
Il faut maintenant remarquer que chaque grandeur indéterminée ou
constante a une dimension qui lui est propre et que les termes d'une
même équation ne pourraient pas être comparés, s'ils n'avaient point
le même exposant de dimension. Nous avons introduit cette considéra-
tion dans la Théorie de la chaleur pour rendre nos définitions plus fixes
et servir à vérifier le calcul; elle dérive des notions primordiales sur
les quantités : c'est pour cette raison que, dans la Géométrie et dans la
Mécanique, elle équivaut aux lemmes fondamentaux que les Grecs nous
ont laissés sans démonstration.
F. i8
138 THÉORIE DE LA CHALEUR.
161.
Dans la théorie analytique de la chaleur, toute équation (E) exprime
une relation nécessaire entre des grandeurs subsistantes x, /, r,c, A, K.
Cette relation ne dépend point du choix de Tunité de longueur, qui de
sa nature est contingent; c'est-à-dire que, si l'on prenait une unité dif-
férente pour mesurer les dimensions linéaires, l'équation (E) serait
encore la même. Supposons donc que l'unité de longueur soit changée
et que sa seconde valeur soit équivalente a la première divisée par m.
Une quantité quelconque x qui, dans l'équation (E), représente une
certaine ligne ab et qui, par conséquent, désigne un certain nombre
de fois l'unité de longueur, deviendra mx, afin de correspondre à la*
même grandeur ab; la valeur t du temps et la valeur ç de la tempéra-
ture ne seront point changées; il n'en sera pas de même des éléments
spécifiques h, K, c : le premier h deviendra -^; car il exprime la quan-
tité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface
à la température i. Si l'on examine avec attention la nature du coef-
ficient K, tel que nous l'avons défini dans les articles 68 et 135, on
reconnaîtra qu'il devient — ; car le flux de chaleur est en raison
directe de l'étendue de la surface et en raison inverse de la distance
des deux plans infinis (art. 72). Quant au coefficient c qui représente
le produit CD, il dépend aussi de l'unité de longueur et devient—^;
donc l'équation (E) ne doit subir aucun changement si l'on écrit, au
lieu de x, mxy et en même temps —>—;>—, au lieu de K, A, c; le
nombre m disparaîtra de lui-même après ces substitutions : ainsi la
dimension de x par rapport à l'unité de longueur est i ; celle de K est
— I, celle de h est — 2, et celle de c est — 3. Si l'on attribue à chaque
(|uantité son exposant de dimension, l'équation sera homogène, parce
que chaque terme aura le même exposant total. Les nombres tels que
s, qui représenteraient des surfaces ou des solides, ont la dimension 2
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 139
dans le premier cas, et la dimension 3 dans le second. Les angles, les
sinus et autres fonctions trigonométriques, les logarithmes ou expo-
sants de puissance sont, d'après les principes du calcul, des nombres
absolus qui ne changent point avec l'unité de longueur; on doit donc
trouver leur dimension égale a o, qui est celle de tous les nombres
abstraits.
Si l'unité de temps, qui était d'abord i, devient-» le nombre / sera
nt et les nombres x et 9 ne changeront point. Les coefficients K, A, c
seront — , -, c. Ainsi, les dimensions de a?, /, v^ par rapport à l'unité
de temps, sont o, i , o et celles de K, A, c sont — 1 , —1,0.
Si l'unité de température était changée, en sorte que la tempéra-
ture I devînt celle qui répond à un autre effet que l'ébuUition de
l'eau, et si cet effet exigeait une température moindre, qui fût k celle
de l'eau bouillante dans le rapport de j au nombre/?, r deviendrait vp,
X et t conserveraient leurs valeurs et les coefficients K, A, c seraient
K h c
— 1 — j — •
P P P
Le Tableau suivant représente les dimensions des trois indétermi^
nées et des trois constantes, par rapport à chaque sorte d'unité :
Longueur. Durée. Température.
Exposant de dimension de jt. f o o .
» / o I o
» V o o I
La conducibililé spécifique K — i — i — ï
La conducibilité de la surface // — 1 — i — i
La capacité de chaleur c —3 o — 1
162.
Si l'on conservait les coefficients C et D dont le produit a été repré-
senté par c, on aurait encore à considérer l'unité de poids et l'on trou-
verait que l'exposant de dimension, par rapport à l'unité de longueur,
est — - 3 pour la densité D et o pour C.
En appliquant la règle précédente aux différentes équations et a
leurs transformées, on trouvera qu'elles sont homogènes par rapport à
IVO THÉORIE DE LA CHALEUR.
chaque sorte d'unité et que la dimension de toute quantité angulaiiv
ou exponentielle est nulle. Si cela n'avait point lieu, on aurait commis
((uelque erreur dans le calcul ou l'on y aurait introduit des expres-
sions abrégées.
Si l'on choisit, par exemple, l'équation (A) de l'article 105
i)v__ K_dU;^ /il
on trouve que, par rapport à l'unité de longueur, la dimension de
chacun des trois termes est o, qu'elle est i pour l'unité de tempéra-
tures et — I pour l'unité de temps.
Dans l'équation r = A^ 'de l'article 76, la dimension linéaire de
chaque terme est o, et Ton voit que celle de l'exposant ^^y ir-i ^^^
toujours nulle, soit pour l'unité linéaire, soit pour la durée ou la teni^
pé rature.
CHAPITRE III.
PROPAGATION DE LA CHALEUR D.VKS UN SOLIDE RECT.VNGULAIRE INFLNI.
SECTION I.
EXPOSITION DE LA QUESTION.
163.
Les questions relatives à la propagation uniforme ou au mouvement
varié de la chaleur dans l'intérieur des solides sont réduites, par ce qui
précède, à des problèmes d'Analyse pure, et les progrès de cette partie
de la Physique dépendront désormais de ceux que fera la science du
calcul. Les équations différentielles que nous avons démontrées con-
tiennent les résultats principaux de la théorie; elles expriment, de la
manière la plus générale et la plus concise, les rapports nécessaires dv
l'analyse numérique avec une classe très étendue de phénomènes, et
réunissent pour toujours aux sciences mathématiques une des branches
les plus importantes de la Philosophie naturelle. Il nous reste mainte-
nant k découvrir l'usage que l'on doit faire de ces équations pour en
déduire des solutions complètes et d'une application facile. La ques-
tion suivante offre le premier exemple de l'analyse qui conduit à ces
solutions; elle nous a paru plus propre qu'aucune autre à faire con-
naître les éléments de la méthode que nous avons suivie.
164.
Nous supposons qu'une masse solide homogène est contenue entre
deux plans verticaux B et C parallèles et infinis, et qu'on la divise en
142
THÉORIE DE LA CHALEUR.
deux parties par un plan A perpendiculaire aux deux autres [fig. 7);
nous allons considérer les températures de la masse BAC comprise
enlre les trois plans infinis A, B, C. On suppose que l'autre partie
BAC du solide infini est une source constante de chaleur, c'est-à-dire
que tous ses points sont retenus à la température i, qui ne peut
jamais devenir moindre ni plus grande. Quant aux deux solides laté-
raux compris, l'un entre le plan C et le plan A prolongé, l'autre entre
Fig. 7.
B
B'
c
le plan B et le plan A prolongé, tous leurs points ont une température
constante o, et une cause extérieure leur conserve toujours cette même
température; enfin, les molécules du solide compris entre A, B et C
ont la température initiale o. La chaleur passera successivement du
foyer A dans le solide BAC; elle s'y propagera dans le sens de la lon-
gueur qui est infinie, et en même temps elle se détournera vers les
masses froides B et C qui en absorberont une grande partie. Les tempé-
ratures du solide BAC s'élèveront de plus en plus; mais elles ne pour-
ront eutre-passer ni même atteindre un maximum de température, qui
est différent pour les différents points de la masse. Il s'agit de connaître
l'état final et constant dont l'état variable s'approche de plus en plus.
Si cet état final était connu et qu'on le formât d'abord, il subsiste-
rait de lui-même, et c'est cette propriété qui le dislingue de tous les
autres. Aussi la question actuelle consiste à déterminer les tempéra-
tures permanentes d'un solide rectangulaire infini, compris entre deux
masses de glace B et C et une masse d'eau bouillante A; la considéra-
tion des questions simples et primordiales est un des moyens les plus
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. U3
certains de découvrir les lois des phénomènes naturels, et nous voyons,
par riiisloire des Sciences, que toutes les théories se sont formées sui-
vant cette méthode.
165.
Pour exprimer plus brièvement la même question, on suppose qu'une
lame rectangulaire BAC, d'une longueur infinie, est échauffée par son
extrémité A et conserve dans tous les points de cette base une tempé-
rature constante i, tandis que chacune des deux arêtes infinies B et C,
perpendiculaires à la première, est aussi assujettie dans tous ses points
à une température constante o; il s'agit de déterminer quelles doivent
être les températures stationnaires de chaque point de la lame.
On suppose qu'il ne se fait à la superficie aucune déperdition de cha-
leur ou, ce qui est la même chose, on considère un solide formé par la
superposition d'une infinité de lames pareilles à la précédente; on
prend pour l'axe des x la droite ox qui partage la lame en deux moi-
tiés, et les coordonnées de chaque point m sont x et j; enfin on repré-
sente la largeur A de la lame par 2I ou, pour abréger le calcul, par 7:,
valeur de la demi-circonférence.
Concevons qu'un point m de la lame solide BAC, qui a pour coor-
données X et j, ait la température actuelle ç^, et que les quantités v qui
répondent aux différents points soient telles qu'il ne puisse survenir
aucun changement dans les températures, pourvu que celle de chaque
point de la base A soit toujours 1 , et que les côtés B et C conservent
dans tous leurs points la température o.
Si l'on élevait en chaque point /w une coordonnée verticale égale à
la température v, on formerait une surface courbe qui s'étendrait au-
dessus de la lame et se prolongerait à l'infini. Nous chercherons à con-
naître la nature de cette surface, qui passe par une ligne parallèle
élevée au-dessus de l'axe des y à une distance égale à l'unité, et qui
coupe le plan horizontal suivant les deux arêtes infinies parallèles
aux X.
Ui THÉORIE DE LA CHALEUR.
166.
Pour appliquer l'équalion générale
dv K fdU^ d'v dU^
>
on considérera que, dans le cas dont il s*agit, on fail abstraction d'une
coordonnée :;, en sorte que le terme ^ doit être omis; quant au pre-
mier membre ^> il s'évanouit puisqu'on veut déterminer les tempéra-
tures stationnaires; ainsi l'équation qui convient à la question actuelle
•et détermine les propriétés de la surface courbe cherchée est celle-ci
La fonction 9('3?,y) de x et v, qui représente l'état permanent du
solide BAC, doit :
i^ Satisfaire à l'équation (a);
2" Devenir nulle lorsqu'on substitue — - ou -f- - au lieu de v,
quelle que soit d'ailleurs la valeur de x;
3" Etre égale k l'unité, si l'on suppose a: = o et si l'on attribue à v
une valeur quelconque comprise entre ^ et -f- -•
Il faut ajouter que cette fonction 9 (-^,7) doit devenir extrêmement
petite lorsqu'on donne à ce une valeur très grande, puisque toute la
chaleur sort du seul fover A.
167.
Atin de considérer la question dans ses éléments, on cherchera en
premier lieu les plus simples fonctions de x et j, qui puissent satis-
faire à l'équation (a); ensuite on donnera à cette valeur de r une
expression. plus générale, afin de remplir toutes les conditions énon-
cées. Par ce moyen la solution acquerra toute l'étendue qu'elle doit
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL U5
avoir, et l'on démontrera que la question proposée ne peut admettre
aucune autre solution.
Les fonctions de deux variables se réduisent souvent à une expres-
sion moins composée lorsqu'on attribue à l'une des variables ou à
toutes les deux une valeur infinie; c'est ce que l'on remarque dans les
fonctions algébriques qui, dans ce cas, équivalent au produit d'une
fonction de x par une fonction de y. Nous examinerons d'abord si la
valeur de r peut être représentée par un pareil produit; car cette fonc-
tion V doit représenter l'état de la lame dans toute son étendue, et par
conséquent celui des points dont la coordonnée x est infinie. On
écrira donc
substituant dans l'équation [a) et désignant —r^ par F\x) et — ^V"^
par/'(7), on aura
on pourra donc supposer
^^ = m* et #4=— •.
m étant une constante quelconque; et, comme on se propose seulement
de trouver une valeur particulière de v^ on déduira des équations pré-
cédentes
F(^) = e-'«^ /(/) — cosmy.
168.
On ne pourrait point supposer que m est un nombre négatif, et l'on
doit nécessairement exclure toutes les valeurs particulières de r où il
entrerait des termes tels que c^'*^, m étant un nombre positif, parce que
la température v ne peut point devenir infinie lorsque x est infiniment
grande. En effet, la chaleur n'étant fournie que par la source con-
stante A, il ne peut en parvenir qu'une portion extrêmement petite
dans les points de l'espace qui sont très éloignés du foyer. Le reste se
F. ï9
U6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et C et se perd dans
les niasses froides qu'elles terminent.
L'exposant m qui entre dans la fonction ^-'"•^cos/nj n'est pas dé-
terminé, et l'on peut choisir pour cet exposant un nombre positif
quelconque; mais, pour que s? devienne nulle en faisant y = — - ou
j = H- -, quelle que soit x, on prendra pour m un des termes de la
suite 1, 3, 5, 7, . ..; par ce moyen la seconde condition sera remplie.
169.
On formera facilement une valeur plus générale de v en ajoutant plu-
sieurs termes semblables aux précédents, et l'on aura
{b) V rrae-^cosj-h ôe-'**^ cos 3 j -+- cc**cos5j-ht/e"'*cos7jH-
Il est évident que cette fonction v^ désignée par 9(^,7)» satisfait à
l'équation
et à la condition
?
(^, ± ^) --= o.
Il reste à remplir une troisième condition, qui est exprimée ainsi
?(o»7) = i;
et il est nécessaire de remarquer que ce résultat doit avoir lieu lors-
qu'on met pour y une valeur quelconque, comprise entre et
H On ne peut en rien inférer pour les valeurs que prendrait la
fonction ç(o, j) si l'on mettait au lieu de y une quantité non com-
prise entre les limites et H L'équation {b) doit donc être
assujettie à la condition suivante :
I — acosy -h 6cos3/ -h ccos5j -i-dcosjy 4-. . . .
C'est au moyen de cette équation que l'on déterminera les coefficients a,
b, Cf d, . .., dont le nombre est infini.
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. IW
Le second membre est une fonction de y, qui équivaut à l'unité
toutes les fois que la variable y est comprise entre et h On
pourrait douter qu'il existât une pareille fonction, mais cette question
sera pleinement éclaircie par la suite.
170.
Avant de donner le calcul des coefficients, nous remarquerons Teffet
que représente chacun des termes de la série dans Téquation [b).
Supposons que la température fixe de la base A, au lieu d'être égale
à l'unité pour tous ses points, soit d'autant moindre que le point de la
droite A est plus éloigné du milieu o, et qu'elle soit proportionnelle
au cosinus de cette distance; on connaîtra facilement dans ce cas la
nature de la surface courbe dont l'ordonnée verticale exprime la tem-
pérature v^ ou ?(^f j). Si l'on coupe cette surface à l'origine par un
plan perpendiculaire à l'axe des x, la courbe qui termine la section
aura pour équation
les valeurs des coefficients seront les suivantes
ainsi de suite, et l'équation de la surface courbe sera
V = ae"-' cos/.
Si l'on coupe cette surface perpendiculairement à l'axe des y, on
aura une logarithmique dont la convexité est tournée vers l'axe; si on
la coupe perpendiculairement à l'axe des x, on aura une courbe trigo-
nométrique qui tourne sa concavité vers l'axe. Il suit de là que la fonc-
tion -T-\ a toujours une valeur positive, et que celle de -r—, est toujours
négative. Or (art. 123), la quantité de chaleur qu'une molécule acquiert,
à raison de sa place entre deux autres dans le sens des x^ est propor-
148 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tionnelle à la valeur de ^-5; il s'ensuit donc que la molécule intermé-
diaire reçoit, de celle qui la précède dans le sens des rr, plus de chaleur
qu'elle n'en communique à celle qui la suit. Mais, si l'on considère
cette même molécule comme placée entre deux autres dans le sens
des j, la fonction -t-% étant négative, on voit que la molécule intermé- •
diaire communique à celle qui la suit plus de chaleur qu'elle n'en
reçoit de celle qui la précède. Il arrive ainsi que l'excédent de chaleur
qu'elle acquiert dans le sens des x compense exactement ce qu'elle
perd dans le sens des y, comme l'exprime l'équation
On connaît ainsi la route que suit la chaleur qui sort du foyer Â. Elle
se propage dans le sens des x, et en même temps elle se décompose en
deux parties, dont l'une se dirige vers une des arêtes, tandis que
l'autre partie continue de s'éloigner de l'origine pour être décomposée
comme la précédente, et ainsi de suite à l'infini. La surface que nous
considérons est engendrée par la courbe trigonométrique qui répond
à la base A, et se meut perpendiculairement à l'axe des x en suivant
cet axe, pendant que chacune de ses ordonnées décroît à l'infini, pro-
portionnellement aux puissances successives d'une même fraction.
On tirerait des conséquences analogues, si les températures fixes de
la base A étaient exprimées par le terme bcos3y, ou par l'un des
termes suivants ccosSy, ... ; et l'on peut, d'après cela, se former une
idée exacte du mouvement de la chaleur dans les cas plus généraux;
car on verra par la suite que ce mouvement se décompose toujours en
une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s'accomplit
comme s'il était seul.
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 14»
SECTION II.
PRBHIBK EXEXPLB DE L'DSAGB DES 8ÉRIB8 TRIGONOXÉTRIQUB$
DANS LA THÉORIE DB LA CHALEUR.
171.
Nous reprendrons maintenant l'équation
dans laquelle il faut déterminer les coefficients a^ b^ c^ dy .... Pour
que cette équation subsiste, il est nécessaire que les constantes satis-
fassent aux équations que l'on obtient par des différentiations succes-
sives, ce qui donne les résultats suivants
i=acosj4- 6cos3/-i- ccos5j-f- c?cos7j -H. . .,
o = a sin y-\'Z h sin 3 j -f- 5 c sin 5/ 4- 7 cf sin 77 -+-... ,
o=r acos/-+- 3*6cos3/H- 5'ccos5/-i- 7'c?cos7j4-. . .,
orz:asin/-h 3'6sin3j4- 5'c sin 5/ -\- 7'û?sin 77 -+-. . .,
et ainsi de suite à l'infini.
Ces équations devant avoir lieu lorsque y = o, on aura
i=:a-h b-^ c-\- d-h e-h /-H^-h...,
o = a-i-3*6-+-5»c-h7*cf4-9*e-Mi'/+- • •>
o = aH-3*6H-5*c-i- 7* 'v'^),
et que la seconde est
arclange-:(-^-^>'v^);
ainsi l'équation (a) prend cette forme finie
(B) — =r arc tange-(-^-^:>^v/"^) 4- arc tangc-(^-yv^^).
C'est de cette manière qu'elle rentre dans l'intégrale générale (A); la
fonction 9(5) est arctange"^, et il en est de même de la fonction ^(s).
Si, dans l'équation (B), on désigne le premier terme du second
membre par/? et le second par q, on aura
-7rr=ij5H-g', tang/^^e-C-^-^^NZ-O, lang^ rr: ^- (-^ ^VO;
donc
le ^ cos y 1 cos r
tang(/?-+-^)=- — ^ - •:=
■ •
I — e' *•* c^ — e"*^'
on en déduit l'équation
/r«x * , 2C0Sr
(C) -7ri^:=;arc tang ^^.
C'est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter la solu
tion de la question.
F. 24
186 THÉORIE DE LA CHALEUR.
206.
Cette valeur de i^ ou ç(^, j) satisfait aux conditions relatives aux
extrémités du solide., qui sont
9(x, dr j7r)=:o et 9(0,7)1=11;
elle satisfait aussi à l'équation générale
puisque l'équation (C) est une transformée de l'équation (B). Donc
elle représente exactement le système des températures permanentes;
et, comme ce dernier état est unique, il est impossible qu'il y ait
aucune autre solution, ou plus générale, ou plus restreinte.
L'équation (C) fournit, au moyen des Tables, la valeur de l'une des
trois indéterminées ^, x, j, lorsque les deux autres sont données; elle
fait connaître très clairement la nature de la surface qui a pour ordon-
née verticale la température permanente d'un point donné de la lame
solide. Enfin on déduit de cette même équation les valeurs des coeffi-
cients difi^érentiels 3- ^t ^ qui mesurent la vitesse avec laquelle la
chaleur s'écoule dans les deux directions orthogonales; et l'on con-
naîtra par conséquent la valeur du flux dans toute autre direction.
Ces coefficients sont exprimés ainsi
dvC TT e'-^H- 2COS27 -+- e-*-^
-5- = sm/
—X
dy TT '^ '•*-!- 2C0S37 -h e-**
On remarquera que, dans l'article 194, la valeur de -^ et celle de ^
sont données par des séries infinies dont il est facile de trouver la
somme en remplaçant les quantités trigonométriques par des expo-
CHAPITRE III, - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 187
nentielles imaginaires. On obtient ainsi ces mêmes valeurs de ^ et ^
que nous venons de rapporter.
La question que l'on vient de traiter est la première que nous ayons
résolue dans la théorie de la chaleur, ou plutôt dans la partie de cette
théorie qui exige l'emploi de l'Analyse. Elle fournit des applications
numériques très faciles, soit que l'on fasse usage des Tables trigono-
métriques ou des séries convergentes, et elle représente exactement
toutes les circonstances du mouvement de la chaleur. Nous passerons
maintenant à des considérations plus générales.
SECTION VI.
DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION ARBrrRAIRE EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.
207.
La question de la propagation de la chaleur dans un solide rectan-
gulaire a conduit à l'équation
ÔJc'^ à y
et, si l'on suppose que tous les points de l'une des faces du solide ont
une température commune, il faut déterminer les coefficients a, 6, c,
rf, e, . . . de la série
a C0SJ7 -4- ^cos3^ -h ccos5j7 -+- dcosja: -h. . .,
en sorte que la valeur de cette fonction soit égale à une constante
toutes les fois que Tare x est compris entre et h On vient
d'assigner la valeur de ces coefficients; mais on n'a traité qu'un seul
cas d'un problème plus général, qui consiste à développer une fonction
quelconque en une suite infinie de sinus ou de cosinus d'arcs mul-
tiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences
partielles et a été agitée dès l'origine de cette analyse. Il était néces-
188 THÉORIE DE LA CHALEUR.
saire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la
propagation de la chaleur; nous allons en exposer la solution.
On examinera, en premier lieu, le cas où il s'agit de réduire en une
série de sinus d'arcs multiples une fonction dont le développement ne
contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une
telle fonction par 9(^0, on posera l'équation
, + 3»c, -t- 4'.rft -H S'cs = E,;
Si maintenant on élimine la dernière inconnue e,, au moyen des
cinq équations qui contiennent A^, B|, C,, D,, Ëj, .... on trouvera
fl,(5t_,.)+3 ft,(5i_3»)_,.3 c,(5'-3')+4 rf,(5=-4') = S'A,-H.,
«:C5- — i") 4- 2»i,(5* - a») -+- 3>c,(5' — 3') + 4''/t(5' ~ 4') = S'B. - Cj,
«a5'-'*)-H3'*.(5' — a')-i-3'CtC5'-3') + 4'rf.(5' — 4') = 5*C, -I),,
fl,(5'~i')-+-3'*,(5'-a>)-H3'c,(5>-3') + 4V,(5'-4*)^5'D,-E;.
On aurait pu déduire ces quatre équations des quatre qui forment
le système précédent, en mettant dans ces dernières
(5' — i)a„ (5- — a')fti. (5' — 3')Ce, (5' — 4»)^^
5'B, — Cj, 5'Ci~Di, 5»I)s — El
Ai, B„ Cl, D».
(c)
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 191
On pourra toujours, par des substitutions semblables, passer du cas
qui répond à un nombre m d'inconnues à celui qui répond à un
nombre /n+ i. En écrivant par ordre toutes ces relations entre les
quantités qui répondent à l'un des cas et celles qui répondent au cas
suivant, on aura
/ a,
a»
a. (3'
a* (4*
a,(5«
a,(6«
0.
I),
I),
A.
6» (4'
&,(5'
2'),
2'),
Cl
c*(4*-3«),
c,(5«-3»), » = rf,(5'
c,(6«-3«), rf, = rf,(6'-4'), e. = e,(6'-5«).
/.t
4'),
on aura aussi
(rf)
A,
A.
A,
A»
2«A,
3>A,
4* A,
5«A,
B„
B4.
B„
B, = 3«B,-C„
B, = 4'B»-C»,
B» = 5«B.-C„
C, = 4»C,-D»,
C» = 5«C,-D„ D4=.5»D,-E5,
On conclut des équations (c) que, en représentant par a, b, c, d,
e, ... les inconnues dont le nombre est infini, on doit avoir
(0
a
b —
fli
(2«-i )(3«-i )(4'-i )(6»-i )...
^^«
(3» — 2») (4» — 2«) (5« — 2*) (6» — 2»). . .
€/:=i^..-
(4* — 3') (52 — 3») (6> — 3*) (7» — 3»). . .
^4
(5* - 4*) (6« -^ 4') (7' - 4*) (8* - 4*). . .
V)
(1) Les produits indiqués aux dénominateurs sont infînis et ne peuvent, par conséquent,
être introduits dans les raisonnements. C'est une difficulté de plus, dans une méthode qui
prête déjà à tant d'objections. On pourrait l'éviter de la manière suivante.
Les quatre équations de la page igo peuvent être déduites de celles qui forment le sys-
192
THÉORIE DE LA CHALEUR.
209.
Il reste donc à déterminer les valeurs de a,, èj, Cj, d^, e^, ...; la
première est donnée par une équation dans laquelle entre A,; la se-
conde est donnée par deux équations dans lesquelles entrent A3, Bj;
la troisième est donnée par trois équations dans lesquelles entrent Aj,
B,, Cs, et ainsi de suite. Il suit de là que, si l'on connaissait les valeurs
de
A,; Aj, Bj; A3, Bj, Cj; A4, B4, C4, D*; ...,
on trouverait facilement «, en résolvant une équation, a,, b^ en résoN
tèmc précédent, en mettant dans ces dernières
(i-^.)«., .(i-|-|)*., ('-|î)^- (■-p)'''
au lieu de
ot
au lieu de
A5-
5*
«4, ^4, Ci,, d^
D,
^«~^' ^»""^' ^«~"«
5«
A4, B4, C4, D4.
5«
Alors les systèmes de la page 191 prendront la forme
«1
0.1
«3
«4
= '''('- i)
on aura aussi
Ai = A,-^
Aj= A3— ^
Bj
3^'
A -A ^*
A3 = A* — —
B2 = 63 — ^ j
Cs = C4 — rrr
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 193
vaut deux équations, a^, b^, c^ en résolvant trois équations, et ainsi
de suite; après quoi on déterminerait a, b, c, d, e, ..., Il s'agit main-
tenant de calculer les valeurs de
Ai; Aj, B,; A„ B„ C,; A4, B4, C4, D*; A5, Bj, Cj, Dj, Ej;
Au moyen des équations {d) : i** on trouvera la valeur de A, on A^
et Ba; 2° par deux substitutions on trouvera cette valeur de A, en A3,
Bj, C,; 3" par trois substitutions on trouvera la même valeur de A, en
A,, B4, C4, D4, et ainsi de suite. Ces valeurs successives de A, sont
A,=::-A,2»-B„
A, ^ A, 2*. 3* - B, ( 2* -+- 3») -h C„
A, = A42».3*.4» — B4(2=.3î H- 2*./i« -+- 3«.4') -f- C4(2» ■+■ 3» 4- 4') - D4,
A,-^ A,2«.3«.4».5* — B,(2«.3*.4" -+- 2*.3*.5* ■+- 2«. 4».55 + 3*.4'.5«)
+ C, (2«.3»+ 2«.4'-H 2'.5'-h 3».4«H- 3«.5*-f- 4».5- ) - D, (2'-h 3«4- 4*+ 5« ) -4- Es,
• • • •>
dont il est aisé de remarquer la loi. La dernière de ces valeurs, qui est
et, par suite,
a = .
(-h) {'-¥•)(-■?)
{-i){'-v){'-f.)
r = -
i'-m'-m-ïï)
Quant aux difTércnlcs valeurs de Ai données à l'article suivant, elles deviendront
Al- Ai— —,
A, = A,- B, (^^, - - ^j -t- ^,,
A. - A; - B, (;i + ^ + ^) -H C» (pij-, + ^, -^ 3^) - -^i_ .
On opérera do même pour Aj, Bj. A3, ..., et cette partie du raisonnemeut sera ainsi
rétablie dans toute sa rigueur. G. D.
F. 25
1%
THÉORIE DE LA CHALEUR.
celle que Ton veut déterminer, contient les quantités A, B, C, D, E, ...
avec un indice infini, et ces quantités sont connues; elles sont les
mêmes que celles qui entrent dans les équations (a).
Kn divisant cette dernière valeur de A, par le produit infini
on a
2'*0 «{^'aO m \J •••}
4 O / ' ' ' 1
Les coefficients numériques sont les sommes des produits que Ton for-
merait par les diverses combinaisons des fractions -j» -,» ^,» 7,» ^t^»
77» ••> après avoir séparé la première fraction -^- Si l'on représente
ces différentes sommes de produits par P,, Q,, R,, S,, T,, ... et si l'on
emploie la première des équations {e) et la première des équa-
tions (6), on aura, pour exprimer la valeur du premier coefficients,
l'équation
a
(a'-i)(3«-i)(4'- i)(5'-i)...
oJ •« '1* 'i»
r=A-BP|4-CQ,-DR,H-ES,-FÏ,^...;
or les quantités P,, Q,, R,, S,, T,, ... peuvent être facilement déter-
minées comme on le verra plus has; donc le premier coeftîcient a sera
entièrement connu.
210.
Il faut passer maintenant à la recherche des coefficients suivants, b,
r, d, e, /, ..., qui, d'après les équations {e), dépendent des quantités
/à,, C3, rf,, e^y /o, — On reprendra pour cela les équations (i); la pre-
mière a déjà été employée pour trouver la valeur de a,; les deux sui-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 195
vantes donnent la valeur de b^; les trois suivantes la valeur decj; les
quatre suivantes la valeur de d^ et ainsi de suite.
En èfFectuant le calcul, on trouvera, à la seule inspection des équa-
tions, pour les valeurs de 6^, Cj, rf,, ^5, ... les résultats suivants :
3c, (I- - 3«) (3« - 3») - A, I^ 2*» - B,(i« -h 2«) -h C„
4^*(i*-4'){2'-4')(3»~4')
= A4i*.2*.3* — B4(i«.2«. -+.i«.3«H-2».3«)-i-C4(i«-+-2»-h3«)— 1)4,
5e, (I* - 5») (2« — 5») (3» - 5») (V - 5«)
=1: A5i*.2«.3«.4» — Bi(i'.2«.3* + i*.2«.4' -+- 1'.3*.4' -H 2».3-.4')
4-C4(I^2«-hI^3'^-l^4*-+-2^3«^-2^4*-+-3^4')-D,(I«-h2*^-3*■^-4»)-hE5,
La loi que suivent ces équations est facile à saisir; il ne reste plus
qu'à déterminer les quantités
Aj, Bï; Aj, Bj, Ci,; A4, B4, L14, ....
Or les quantités A2. B^ peuvent être exprimées en A,, B3, G, ; ces der-
nières en A4, B,, C4, D4, Il suffît pour cela d'opérer les substitu-
tions indiquées par les équations [d); ces changements successifs
réduiront les seconds membres des équations précédentes à ne con-
tenir que les quantités A, B,C, D, ... avec un indice infini, c'est-k-dire
les quantités connues A, B, C, D, ... qui entrent dans les équations {a);
les coeffîcients seront les différents produits que l'on peut faire en
combinant les carrés des nombres 1^, 2*, 3^, 4*» 5* à l'infini. Il faut
seulement remarquer que le premier de ces carrés i^ n'entrera point
dans les coeffîcients de la valeur de a^; que le second carré 2^ n'en-
trera point dans les coefficients de la valeur de 62; que le troisième
carré 3* sera seul omis parmi ceux qui servent à former les coeffîcients
de la valeur de c,, ainsi du reste à l'infini. On aura donc pour les va-
leurs de 62, r,, ^4, «5, ... et par conséquent pour celles de b, c, d,
e, ... des résultats entièrement analogues à celui que l'on a trouvé plus
haut pour la valeur du premier coefficient a, .
196 THEORIE DE LA CHALEUR,
211.
Si maintenant on représente par Pj, Q^, R^, Sj, ... les quantités
I I I 1
i' 6^ 4' ^
I I I I I
^ • • • *
1111
I-.3V4* "^ i«.3*.5^ "^ î«74 V5"* "^ 3», 4*. 5* "^ ' ' *
i*.3«.4'.5« i«.4*.5».G
1
• •
y
que Ton forme par les combinaisons des fractions
I I I I I
7î' ^' 3t' Ti' 5"i' ••■'
à rinfini, en omettant la seconde de ces fractions -j> on aura, pour
déterminer la valeur de h.^, Téquation
1^—2^
2 6, , .., ,, .^-^, — — A, — BP, -h CQ, — DR, -+- ES, — FT, -h . . . .
En représentant, en général, par P;,, Q„, R,,, S„, T^, ... les sommes
des produits que Ton peut faire en combinant diversement toutes les
fractions -,'—,> ô-j» 7i>F3' ••• à l'infini, après avoir seulement omis la
fraction -j» on aura, en général, pour déterminer les quantités a,, 6^,
c.,, ^1, e^, . . ., les équations suivantes :
A.-BPi + CQ,~DRi-f-ES,-...=z a _l __ ,
A, - BP, + CQ. - DR, + ES, - . . . = 2 b, _- '^i!'-- ,
A,-BP, + CQ.-DR. + ES,-..^3c,<;;-^',^^y^^-!l,
A, - BP» + CQ» - DR, + ES, - . . . = 4rf. ^"rAi'LlfrV-' "—^ '
1 .2.0.0.0 •••
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 197
212.
Si l'on considère maintenant les équations {e) qui donnent les va-
leurs des coeHQcients a, b, c, d, . .., on aura les résultats suivants :
«-TT^ :r-ôi^ ^^-^ -^ •••=.A-RP, + CQ,-DR, + ES,-FT. + ...,
jt *J l\ *J
2 6L_^ ^3^ i-^ ?-3^...= A-BP, + C0.-DR.+ES,-...,
3c î—,— ?-^ 5__i. ^_^...^A-BP,+CQ,-DR,+ES,-...,
I 2 ..|, 3
, S \i q1 f.t ^4 /.S 5î __ f.2
En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux numéra-
teurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des
nombres naturels, on voit que la fraction se réduit, dans la première
équation, à — ; dans la seconde à 7; dans la troisième à ^j-^r;
dans la quatrième à — 7-^; en sorte que les produits qui multiplient
a, 26, 3 c, ^ci, ...
sont alternativement 7 et —- 7- Il ne s'agit donc plus que de trouver
les valeurs de
* 1> \?1> ■*!> ^M •••» II» V8» ^2» ^i» •••» * 3» Qsj *^3» ^3» •••> ....
Pour y parvenir, on remarquera que Ton peut faire dépendre ces va-
leurs de celles des quantités P, Q, R, S, T, . .., qui représentent les
différents produits que Ton peut former avec les fractions —, -71 r.j, 75,
1 2" o i\
51' 51' ••• sans en omettre aucune. Quant k ces derniers produits,
leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus.
Nous représenterons donc par
P, Q, R, S, ...
' I
198
les séries
THEORIE DE LA CHALEUR,
I 1
2
3« "^ 4« "^ 5* "^ • • • '
i\'à^ ' i*.3-
i*.4- 2*.3* 2«.42 3*.4-
• • >
i^2-.3* i*.2».4' i*.3^4' a'.3*.4* ""
i».2*.3*.4* 2«.3*.4*.5* i«.2«.3«.5*
La série
2.3
.r^
.r«
2.3.4.^ 2.3.4.5.6.7
-h
nous fournira les quantités P, Q, R, S, T, En effet, la valeur du
sinus étant exprimée par l'équation
sin jr^rzu'l i — -,
ifej (/"" 3^v ('"■ 4^-) y- ¥1?) ' ' •
on aura
a-
1 —
--h
.r
<»
.r'
2.0 2.0>^.D 2.«).>4.0.0.T
-(
^3 ^
.r
I —
I i.
2*7:=
.1
.s
-4 /.
d'où l'on conclut immédiatement
1
>
71^
'^.3
Ti >
0
r^
2.3.4.5
R
r'
2.3.4.5.6.7'
r'
S -_ _ _ _. __
2 . 3 . 4 . o> . 6 . 7 . 8 . 9
CHAPITRE m.- SOLIDE RECTANGU LAIKE INFINI. 199
213.
Supposons maintenant que P„, Q^, R^,, 8,^, ... représentent les
sommes de produits différents que l'on peut faire avec les fractions
-:;» -•» ^> /-,> — .» '"> dont on aura séparé la fraction — ,» n étant un
i' a" 3' 4 ^ "
nombre entier quelconque; il s'agit de déterminer P„, Q„, R;,, S«, ...
au moyen de P, Q, R, S, — Si Ton désigne par
le produit des facteurs
\ /
parmi lesquels on aurait omis le seul facteur i — ^> il faudra qu'en
multipliant par i — ^ la quantité
on trouve
Cette comparaison donne les relations suivantes
P -h - — P
«»
Q« + P„ ,'i ^ 0.
R« + 0» j, = R.
S,| -h K„ — ^ — - s,
•200 THEORIE DE LA CHALELH.
ou
S„ ^ s - -,R4- -îjQ - -,P 4- -^.
/i* n* ir fr
Eli employant les valeurs connues de P, Q, R, S et faisant successi-
vement n = 1, 2, 3, 4. 5, ..., on aura les valeurs de P«, Q,, R,, S,, ...;
celles de P.., Q.,, R2. S^, . . .; celles de P3, Q,, R,, S^, . . . .
214.
Il résulte de tout ce qui précède que les valeurs de a, b, r, d, e, ...,
déduites des équations
a-+-2 ^-+-3 c'H-4 ^H-5 e -\- , , .z=^ \,
« -4- 23 ^ ^_ 33^. _^ ^j^ _^ 53^ ^ _ _^ B^
a -+- 2* ^ -f- 3» c -t- 4*âf -H 5« e -h . . . = C,
a-4- a'^-h 3^c-|- 4V-f-5"e-h. . .= D,
a--i-2»6H-3»c4-4'^/-+- 5»e-i-. .. = E,
• » • •
sont exprimées ainsi :
a _ . |. / jn^ i^\ p/ 7:* i^ jr^ i
iî \2.3 i-/ \2.3.4.5 I* 2.3 I*
\2.3.4.5.6.7 1^ 2.3.4.5 1^2.3 i®/
^ \2.3.4.5.6.7.8.9 1*2.3.4.5.6.7 I* 2.3. '4.5 1*2.3 i*/
CHAPITRE III. ~ SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 201
-f» a-b/'^-AUc^ ""'
p^ / TT* I TT* I TT- I \
\2.3./i.5.6.7 2^ a .3.4.5 U* 2.3 2V
-, / 7T* I TT® I TT^ 1 7:* ï
_|_ ^ I _L_ . _1_
\3. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 2* 2.3.. i. 5. 6. 7 2^ 2.3.4-5 2^ 2.3 2*
2 ~ V2.3 37"^ V2.3.4.5 3^ 2.3 "^"37
^. 71* I 7:* I TT* I
"" '^^34.576.7 "" 3^ 273:475 "^ 3* ^73 ~3^
^ , TT' I TT* 17:* I TT*
E
2.3.4.5.6.7.8.9 3* 2.3.4.5.6.7 3^ 2.3.4.5 3® 2.3 3
37
"T'"""^ *^V2.3 4'*/ \2.3.4.5 4'2.3"^47
-.^ / TT* I 71^ _L ^E! L
\2.3.4.5.6.7 4' 2.3.4-5 4* 2.3 4*
E
7r' 17:* I 7r* I 7r* I
-TT 4-
2.3.4.5.6.7.8.9 4* 2.3.4.5.6.7 4* 2.3.4.5 4* 2.3 4*
215.
Connaissant les valeurs de a, b, c, rf, e, /, ..., on les substituera
dans Téquation proposée
(p(^) = asina7 + 6sin2a7 H-e/sin3^ -hesin4^-f-- . .;
et mettant aussi au lieu des quantités A, B, C, D, E, ... leurs valeurs
F. 26
202
THÉORIE DE LA CHALEUR.
(p'(o), 9"'(°)' ?'(<*)» ?"'(o)' ?"(o)' •••• on aura l'équation générale
9(x) _
[?'(o;
s.n .. 1
(B)
sin ^Uctt)— ^<ï)*(7r)-h ^.'^'""(t:)-
jsinS^ 19(71)- ^,9''(^)^- jiT'^'C^) - ^9^'{t^)-^'"
— ^sin/jj? 9(Tr) —
4 4
4
■]
-h
OU celle-ci
(C)
-9(07)1=19 (7r)(sinj7 sin2j?-i-^ sinS^r — ...j
2 \, 2 O /
9' (tt) ( sinj7 —
9*^(7:) ( sin.r —
9^'(7r) ( sinj: —
-r sin2.r -t- içz sinojc — .
— sin2:r -H Tp smouC — .
2» 3*
1 . ï • o
— , sm2J7 — ^ sinoj: — .
-f-.
206
THÉORIE DE LA CHALEUR.
218.
On peut appliquer Tune ou l'autre de ces formules toutes les fois
que Ton aura à développer une fonction proposée en une série de sinus
d'arcs multiples. Si, par exemple, la fonction proposée est e' — e""^^
dont le développement ne contient que des puissances impaires de a%
on aura
TZ e^ — e '
1 e^ — e'"^"-
%\x\x snisîx-f-;T sm3,r— ...
2 3
snij:' ; sin2j^ -h ;,- sin3j~ — .
siii.r sni 2JE" H- — sni 3ar — .
2- 3*
suur sni2^ h- tt; sm3a: — . .
2^ 3^
siiiJ? r sin2.r -f- 777. sîn3.r — . .
2' 3^
En distinguant les coefficients de sin^r, sina^r, sinSar, sin/|x, ... et
mettant au lieu de -, h — ; :? -h . . . sa valeur . 1 on aura
-r -h . . . sa valeur -^—
n e^ — e
—X
siiijr sin2j:* sin3.r sin/J^r
2 Éî^ — e~'^
' + i
1
J
3 4- i 4 + ^
-f- —
On pourrait multiplier, ces applications et en déduire plusieurs
séries remarquables. On a choisi l'exemple précédent parce qu'il se
présente dans diverses questions relatives à la propagation de la cha-
leur (*).
i>) Bien des points, dans cet article et dans les précédents, appelleraient encore les
critiques. Fouricr décompose les séries oblenues et leurs coefficients d'une manière tout à
fait arbitraire. 11 est évidemment impossible de justifier la substitution de la valeur i à la
série
I — I -h I — I -+-. . .
que l'illustre auteur opère ici pour déterminer le coefficient de sin.r.
G. D.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 207
219.
Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction dont on demande le
développement en séries de sinus d'arcs multiples peut être déve-
loppée en une série ordonnée suivant les puissances de la variable x,
et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires.
On peut étendre les mêmes conséquences a des fonctions quelconques,
même à celles qui seraient discontinues et entièrement arbitraires.
Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessaire
de poursuivre l'analyse qui fournit l'équation précédente (B) et d'exa-
miner quelle est la nature des coefficients qui multiplient sin^z-, sinsît*,
sin3a;, sin4^9 En désignant par - la quantité qui multiplie dans
cette équation - sinno? si n est impair, et sinn^ si n est pair, on
aura
Considérant s comme une fonction de u, différentiant deux fois et com-
parant les résultats, on trouve
I d^s . ,
équation à laquelle la valeur précédente de s doit satisfaire. Or l'équa-
tion
i d}s . .
dans laquelle^ est considérée comme une fonction de x, a pour inté-
grale
s = acosnœ -h bsînnx -^ nsïnna: j (p(:r) cosnx dx
— ncosnx I cp{x)sïnnx dx;
n étant un nombre entier et la valeur de x étant égale à ir, on a
=i:db « / 9(x) sïn nx'dx.
■208 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Le signe 4- doit être choisi lorsque n est impair, et le signe — lorsque
ce nombre est pair. On doit supposer x égal à la demi-circonférence i:,
après l'intégration indiquée; ce résultat se vérifie lorsqu'on développe,
au moyen de l'intégration par parties, le terme
1,'
en remarquant que la fonction ^[x) ne contient que des puissances
impaires de la variable et en prenant l'intégrale depuis x=^ o jusqu'à
On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à
=h [9(71) - 9''(7r) ^, 4- 9^^'(7r) ^{,- - 9-(7r) ^, -f- 9-'(^
Si l'on substitue cette valeur de - dans l'équation (B), en prenant le
signe -h lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le
signe — lorsque n est pair, on aura, en général,
pour le coefficient de ^mnx; on parvient de cette manière à un résultat
très remarquable exprimé par l'équation suivante
1 - 9 (vt) == sin.r l ^\ï\x (^(x)dx -\-s\\\ix j s[n2x (^(x)dx
o>) ! ^
sin3j7 I sinSwC (^{x)dx -\-,,.-\- siiu\r I sinix<^(x)dx 4-...;
le second membre donnera toujours le développement cherché de la
fonction (f{x) si l'on effectue les intégrations depuis x=:o jusqu'à
( I ) C'osl ici que Fourier enlre dans la voie qui lui a permis d'oblenir des notions exactes
el complètes sur la nature des séries trigonométriques et d'indiquer la solution véritable
d'une question célèbre qui avait occupé au xviii* siècle Euler, d'Alembert, D. Bernoulli et
{^grange. La détermination des coefficients de la série par des intégrales définies, inté-
grales qui conservent un sens, même lorsque la fonction est discontinue, est due tout
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 209
220.
On voit par là que les coefficients a, b, c, d, e, f, ... , qui entrent
dans l'équation
- ïnl\x -h esm^x -h. . .,
quoiqu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires
2U THÉORIE DE LA CHALEUR,
(le la même variable. On aura, en effet, d'après le lliéorëme précé
(lent.
siii2:r / coSvT &[n2.r dx -\- sinSa* / cosj: sinS.r c/j? 4- . . ..
L'intégrale / cos.r sin«.rr/j7 équivaut à zéro lorsque i est un nombre
impair, et à t^—— lorsque i est un nombre pair. En supposant succes-
sivement I = 2, 4, 6» 8, . . ., on aura la série toujours convergente
7- coso: ^r — - sin2.r -h ô— ^ sm4«2: 4- -z — sinbj?
4 1.6 0.0 5.7
8 . _ 10 .
H sinoj:- H smiox + . . .
7-9 9ȕ
ou
( - H — I sinGj: -H ( — I — ) sinS.r -h l — I ) sinioj'--i-. . . I .
\=^ 7/ \7 0/ \9 >»/ J
0 résultat a cela de remarquable qu'il offre le développement du co-
sinus en une suite de fpnctions dont chacune ne contient que des
puissances impaires. Si Ton fait dans l'équation précédente a: = y» on
4
trouvera
TT I /l I I I I I I I \
4V2 ^V* ^ ^ 7 9 '» '3 ï^ /
Cette dernière série est connue [Introd. in analysin infinit, , cap. X).
224.
On peut employer une analyse semblable pour développer une fonc-
tion quelconque en série de cosinus d'arcs multiples. Soit 9(^) la
CHAPITRE 111.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 215
fonction dont on demande le développement, on écrira
i 9(.r) = ^oCOSO.r -4- rt. cos.r -h «iC0S9..r
Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par cosjx et que
l'on intègre chacun des termes du second membre depuis œ := o jus-
qu'à j? = î:, il est facile de s'assurer que la valeur de cette intégrale
sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déjà cosyx. Cette
remarque donne immédiatement le coefficient a^; il suffira, en général,
de considérer la valeur de l'intégrale / cosy-r cos£'.rr/r, prise depuis
jr = o jusqu'à x = 'k, en supposant que y et t sont des nombres entiers.
On a
/•
cos/x cosijT dx=. - - sin ( / -\- i)x -\ : r- sin ( / — i).v -h C.
Cette intégrale, prise depuis ;r = () jusqu'à x — i:, est évidemment
nulle toutes les fois quey ett sont deux nombres différents. Il n'en est
pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux. Le dernier terme
— _ — _ sjn(;_ i\x devient -i et sa valeur est -> lorsque l'arc r est
égal à Ti, Si donc on multiplie les deux termes de l'équation précé-
dente (m) par cos«;r, et que l'on intègre depuis o jusqu'à i:, on aura
/
9 ( »r ) cos ix dx ^=. ^—^
équation qui fera connaître la valeur du coefficient a,. Pour trouver le
premier coefficient a^, on remarquera que, dans l'intégrale
sin(y-+- i)x 4- —-• r sin(y — i)x.
'^'(y-+-0 2(y — 0
si l'on a
y =z o et i^=^ o,
chacun des termes devient -i et la valeur de chaque terme est -\
\
-216 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ainsi Tinléj^rale / cosjx cosixdx, prise depuis ^ = o jusqu*à x = iz,
est nulle lorsque les deux nombres entiers y et i sont différents; elle
est - lorsque les nombres y et i sont égaux, mais différents de zéro ;
elle est égale à u lorsque y et «sont l'un et l'autre égaux à zéro. On
obtient ainsi l'équation suivante :
-t-cosa^l ç (.r) cos 2 j:* ^x -h cos 3 j? / ^(j') cosSx^-r -h....
(^e théorème et le précédent conviennent à toutes les fonctions pos-
sibles, soit que Ton en puisse exprimer la nature par les moyens
connus de l'Analyse, soit qu'elles correspondent à des courbes tracées
arbitrairement.
225.
Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosi-
nus d'arcs multiples est la variable x elle-même, on écrira l'équation
-— = a^~\- <7i cosj" -h a, cosa.r -f- ajcosox -h. . .-+- «/ cosij: -h. . .,
et Ton aura, pour déterminer un coefficient quelconque «/, l'équation
ai:= j X cos i.rd.r.
Otte intégrale a une valeur nulle lorsque «est un nombre pair, et est
égale à — -^ lorsque «est impair. On a en même temps
«0 — -- •
On formera donc la série suivante :
TT , COSX - C0s3x - 008 5^ , COS'T.r
2 " t: * S'TT " 5'7r ' y^r.
• • • •
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 217
On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à Irois dévelop-
pements différents de -» savoir
— = sïnx sin2.r -+- 7: siiiSa- — , sinAj: -h ^ sin5.r — . . . (art. 222),
2 2 3 4 •>
.f 2 2 2 2
- ^i — siiKr — „ ' siii3.r -h rr-siiiJ.r -— sin^j' H-. . . (art. 181),
Ai» O i„ O il / '^
.r :: 2 2 „ 2
- = -7 cos.r — rr,— cos 3 j" — r-i— cos 5 .r — ....
2 4 7î 3^r »>*7î
Il faut remarquer que ces trois valeurs de ~ ne doivent point être
considérées comme égales pour toutes les valeurs de x; les trois déve-
loppements précédents n'ont une valeur commune que lorsque la va-
riable x est comprise entre o et -• La construction des valeurs de
ces trois séries et la comparaison des lignes dont elles expriment les
ordonnées rendraient sensibles la coïncidence et la distinction alterna-
tives des valeurs de ces fonctions.
Pour donner un second exemple du développement d'une fonction
en série de cosinus d'arcs multiples, nous choisirons la fonction sina^-
qui ne contient que des puissances impaires de la variable, et nous
nous proposerons de la développer sous la forme
a -\- b cos j:' -h c cos 2 jc 4- ^/ cos 3 .!• -h . . . .
En faisant à ce cas particulier l'application de l'équation générale, on
trouvera, pour l'équation cherchée,
71 . I C0S2J; cos4.r cosô.r cosS.r
4 2 I . o ô.,j 0.7 7.9
On parvient ainsi à développer une fonction qui ne contient que des
puissances impaires en une série de cosinus dans laquelle il n'entre
que des puissances paires de la variable. Si l'on donne k ^ la valeur
particulière -> on trouvera
7: I I I I I
T. — TT-T^ -h =
4 2 1.3 3.5 5.7 7.9
F. 28
218 THÉORIE DE LA CHALEUR
Or de Téquation connue
on tire
TT I I I I I
7 =1— ^-h- \
4 3 ;) 7 9 II
TT I I I I
8 1.3 5.7 9-11 i3.i5
et aussi
TT I
8 '2 3.5 7.9 1 1 . 1 3 1 3 . 1 5 * * ' '
en ajoutant ces deux résultats, on a, comme précédemment,
TT I
4 2 1.3 3.5 5.7 7-9 9-1' II. i3
226.
L'analyse précédente donnant le moyen de développer une fonction
quelconque en série de sinus ou de cosinus d'arcs multiples, nous
l'appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des va-
leurs déterminées lorsque la variable est comprise entre de certaines
limites, et a des valeurs nulles lorsque la variable est comprise entre
d'autres limites. Nous nous arrêterons a Texamen de ce cas particulier
parce qu'il se présente dans les questions physiques qui dépendent
des équations aux différences partielles, et qu'il avait été proposé
autrefois comme un exemple des fonctions qui ne peuvent être déve-
loppées en sinus ou cosinus d'arcs muUiples. Supposons donc que l'on
ait à réduire en une série de cette forme une fonction dont la valeur
est constante, lorsque x est comprise entre o et a, et dont toutes les
valeurs sont nulles lorsque ce est comprise entre a et i:. On emploiera
l'équation générale {m), dans laquelle les intégrales doivent être prises
depuis .r = o jusqu'à jc =^1:. Les valeurs de ç(.r) qui entrent sous le
signe / étant nulles depuis or = ol jusqu'à x = iz, il suffira d'intégrer
depuis .r = o jusqu'à x = a. Cela posé, on trouvera, pour la série
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 219
demandée, en désignant par h la valeur constante de la fonction,
TT . . , /i — ces a .
-9(^)~/i/- sin
I — cos2a .
vF -h sinajT
I — cos3a . - I — cos4a . ,
-h ,. sin3.r -h %\ïi(\x -h . .
Si Ton fait A = -> et que l'on représente le sinus verse de Tare x par
sinVtT, on aura
(p(j7) = sin Va sin j? h — sin Va a sin 2^ -i- :r sin V3 a sin 3 j: •
H- 7 sin V4 a sin 4 -ï* -H -sin V5 a sin 5 j:- -h
4 à
Cette série toujours convergente est telle que, si l'on donne à x une
valeur quelconque comprise entre o et a, la somme de ses termes sera
-; mais, si Ton donne à x une valeur quelconque plus grande que a
et moindre que ir, la somme des termes sera nulle.
Dans l'exemple suivant, qui n'est pas moins remarquable, les valeurs
de ç(^) sont égales à sin-^- pour toutes les valeurs de x comprises
entre o et a, et sont nulles pour toutes les valeurs de x comprises
entre a et tt. Pour trouver la série qui satisfait à cette condition, on
emploiera l'équation (D).
Les intégrales doivent être prises depuis ^ = o jusqu'à o: = ir; mais
il suffira, dans le cas dont il s'agit, de prendre ces intégrales depuis
07 = 0 jusqu'à ^ = a, puisque les valeurs de ç(a;) sont supposées
nulles dans le reste de l'intervalle. On en conclura
, , /slnasinu:' sin2asin2a? siii3asin3x sin4
aucune autre fonction ne peut jouir de cette même propriété. Pour
s'en convaincre, il faut considérer que, le premier état du solide étant
représenté par une équation donnée r, =:/(^), la fluxion ^-~ est con-
nue, puisqu'elle équivaut h k ^ \ - Ainsi, en désignant par i\,, ou
(^, -h -j^dt, la température au commencement du second instant, on
déduira la valeur de Ca de l'état initial et de l'équation différentielle.
On connaîtra donc de la même manière les valeurs ^3, ^,, ç'j, •. ., ç^„ de
la température d'un point quelconque du solide au commencement de
chaque instant. Or la fonction ^{x,i) satisfait à l'état initial, puisque
l'on a
De plus elle satisfait aussi à l'équation différentielle; par conséquent,
étant différentiée, elle donnerait pour ^, ^> -r^, ••• les mêmes va-
leurs que celles qui résulteraient de l'application successive de cette
équation différentielle (a). Donc si, dans la fonction ç (a?,/), on donne
300 THÉORIE DE LA CHALEUR.
successivement a / les valeurs o, co, aco, 3û), 4^f ...f <«> désignant
l'élément du temps, on trouvera les mêmes valeurs ^^,,^2, (?,, ^^4, •..que
l'on aurait déduites de l'état initial et de l'application continuelle de
l'équation (a). Donc toute fonction 'j'(j?, l) qui satisfait à l'équation diffé-
rentielle et à l'état initial se confond nécessairement avec la fonction
ç (a?, t); car ces fonctions donneront l'une et l'autre une même fonction
de X, si l'on y suppose successivement / = o, (o, ato, 3a), . . ., lo), ....
On voit par là qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution de la ques-
tion et que, si l'on découvre d'une manière quelconque une fonction
K • . ^-
9-
^- fj
3 ^ -
0
f. -
^ . 0
'--6-:
Ainsi la fonction fAr qui entre dans l'équation déterminée a pour
valeur la fraction continuée à l'infini
0_
0
, 0
,
3- > ---
4 —
0
r> — .
314.
Nous allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes
parvenus jusqu'ici.
Le rayon variable de la couche cylindrique étant désigné par x, et
la température de cette couche étant ç^, qui est fonction de .r et du
temps /, cette fonction cherchées doit satisfaire à l'équation aux dif-
férences partielles
on peut prendre pour ç^ la valeur suivante :
r--= e~""w;
u est une fonction de x qui satisfait à l'équation
Si l'on fait
m I du d^u
A' X ax dx^
, m .r*
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. à^7
et que Ton considère u comme une fonction de 0, on aura
du . d} u
« H- -77- -+- y —rrr = O.
db dO^
La valeur suivante
2* Si*. 3* 2*. 3*. 4* ■•
satisfait à Téquation en wet 0; on prendra donc, pour valeur de // en .r,
celle-ci :
m .r* //i* .7*^ ni^ jt^
Il ^=z\ -
A' 2^ A* 2*. 4* A» 2*. 4*. 6*
la somme de cette série est
- I cos I .r i / r sin /• I a/*,
l'intégrale étant prise depuis r= o jusqu'à / = tc. Cette valeur de u en
.r et w satisfait à l'équation différentielle, et conserve une valeur finie
lorsque x est nulle. De plus, l'équation
, dn
nu -\ — r- =^o
dx
doit être satisfaite lorsque
X étant le rayon du cylindre. Cette condition n'aurait. pas lieu si l'on
donnait à la quantité m qui entre dans la fonction // une valeur quel-
conque; il faut que l'on ait I équation
»
AX 9
2
I —
4 _ r_
dans laquelle 0 désigne
m X-
 2^
ik» THÉORIE DE LA CHALEUR.
Cette équation déterminée, qui équivaut à la suivante
?. y "^ i» â'. 3' "^ ■ ■ 7 ~ "i^ "" 2«. 3» a' .'3'". 4'
•»
donne pour 0 une infinité de valeurs réelles que Ton désigne par 0,,
Oj, 0,, ...; les valeurs correspondantes de m sont -yt* '
X* ' X»
Y*'» •••; par conséquent la valeur particulière de i' qui correspond à
la racine 9, est exprimée ainsi
71 1' -. e
? ^' / cosf 2 ^V^, sin^ W^.
On peut mettre, au lieu de 0,, une des racines 6,, ôj, 0,, 0^, ... et Ton
en composera une valeur plus générale exprimée par Téquation
/ cos ( 2 .. sJO^ sin 9 1 dq
-h «JE? . *
-h
/ cosf a !=Tv/(?iSin7 j c^y
'^^ / cosf 2 — y/ô, sinyj û^7
a,, a,, a,, ... sont dos coefficients arbitraires; la variable q disparait
après les intégrations, qui doivent toutes avoir lieu depuis q = o jus-
qu'à ^ = u.
315.
Pour démontrer que cette valeur de r satisfait à toutes les condi-
tions de la question et qu'elle en contient la solution générale, il ne
reste plus qu'à déterminer les coeflîcFents ^,, a^, a^, ... d'après l'état
initial. On reprendra l'équation
• • » f
dans laquelle i/,, u^, u^ sont les difTérentes valeurs que prend la fonc-
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. :î49
tion Uj ou
m jc' m* x^ tn} x^
-i H-
^ 2« ^* 2*. 4* ^' 2*.4».b«
m
lorsqu'on met successivement au lieu de -r les valeurs g^, g^, g^, ....
En faisant / = o, on a Téquation
V = «1 w, -h «1 w, -h a, Mj -h . . . ,
dans laquelle V est une fonction donnée de x. Soit (f{œ) cette fonc-
tion, et représentons la fonction u^ dont l'indice est i par ^{x \/gi). On
aura
• « • •
Pour déterminer le premier coefficient, on multipliera chacun des
membres de l'équation par a, dx, a^ étant une fonction de x, et Ton
intégrera depuis 07 = 0 jusqu'à ^ = X. On déterminera cette fonction cr,
en sorte qu'après les intégrations le second membre se réduise au pre-
mier terme seulement, où se trouve le coefficient a<, toutes les autres
intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coeffi-
cient a,, on multipliera pareillement les deux termes de l'équation
(p(^) = ^1 Wi -h a, w, -h «3 «3 -h . . .
par un autre facteur 0-3 rfj?, et Ton intégrera depuis x = o jusqu'à
x = X. Le facteur o-j devra être tel que toutes les intégrales du second
membre s'évanouissent excepté une seule, savoir celle qui est affectée
du coefficient «2. En général, on emploie une suite de fonctions de .r
désignées par (r<, (Xj, a,, ..., qui correspondent aux fonctions u^, u.j,,
w,, ... ; chacun de ces facteurs o- a la propriété de faire disparaître par
l'intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies,
excepté un seul; on obtient de cette manière la valeur de chacun des
coefficients a,, «2» ^.j» H f^ut donc chercher quelles sont les fonc-
tions qui jouissent de la propriété dont il s'agit.
\
350 THÉORIE DE LA CHALEUR.
316.
on a
Chacun des ternies du second membre de l'équation est une intégrale
définie de cette forme afaudx\ u est une fonction de x qui satisfait k
Téquation
m I du (Pu
A X dur djc^ '" '
on aura donc
/' , k r( fj du d^ii\ ,
a I (ju dx = — a — f | — 5 h a -7— r | ax,
j m J \x dx dx^ J
Kn développant, au moyen de l'intégration par parties, les termes
/(T du ' r d}u ,
J X dx X J \xj
r d^u . ^ du da f d*(7 ,
j^-^dx=:D+-a-^u-^ju — dx.
Les intégrales devant être prises entre les limites ,r — o et a; =: X,
on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le
développement et ne sont point sous le signe /. Pour indiquer que
l'on suppose x =^ o dans une expression quelconque en Xy on affectera
cette expression de l'indice a, et on lui donnera l'indice (o pour indi-
quer la valeur que prend la fonction de x lorsqu'on donne à cette va-
riable X sa dernière valeur X.
On aura donc, en supposant a? = o dans les deux équations précé-
.dentes,
on détermine ainsi les constantes C et D. Faisant ensuite 0- = X dans
ces mêmes équations, et supposant que l'intégrale est prise depuis
.r = o jusqu'à ir = X, on aura
J X dx '^ '^\ x)^'~'\x)ai j" \x)
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 351
et
,/ djc* \dj:^ dx) ^^ \dx dxjy^ J dx^ " '
on obtient ainsi l'équation
m
1
r , / \ d*^ "^[xj \. (du do a\
b)
(du di a \
dx dx «*'/a
317.
Si la quantité
0-
d>f3 ^\x
dx* dx
"(-:
qui multiplie u sous le signe d'intégration dans le second membre était
égale au produit de a par un coefficient constant, les termes
fh-'M]^' /'"
dx
pourraient être réunis en un seul et Ton obtiendrait, pour l'intégrale
cherchée f^udx, une valeur qui ne contiendrait que des quantités dé-
terminées, et aucun signe d'intégration. 11 ne resterait plus qu'à égaler
cette valeur à zéro.
Supposons donc que le facteur cr satisfasse à l'équation différentielle
du second ordre
d^a \'^/ 't
dx* dx k
-f- 7-(7=: O
de même que la fonction u satisfait à l'équation
d*u I du . m
dx* X dx k '
352 THÉORIE DE LA CHALEUR.
m et n étant des coefficients constants, on aura
n — m r , (du d(7 fs\ f du drs rj \
— , — /crartx — (-r-a — w-j hw— ) — (-j-o- — w-, — hw-l'
k J \da) dx ^J ta \dx dx x /«
Il existe entre a et a une relation très simple, qui se découvre lorsque,
dans l'équation
<
('À
\x/ cPi
d
k dx dx^ '
on suppose
fj=. xs;
on a, par le résultat de cette substitution, l'équation .
n I ds d*s
k X dx dx^
ce qui fait voir que la fonction 5 dépend de la fonction u donnée par
l'équation
m i du d*u
k X dx dx*
11 suffit, pour trouver ^, de changer m en n dans la valeur de u; on
a désigné cette valeur de u par ^'(^v/^jî celle de a sera donc
On aura maintenant
du d(j a
-j-tj^ U-j 1-*/-
ax ax- X
-+(-\/^)+(«\/î) ++(^y^?)+(«y'j)-
Les deux derniers termes se détruisant d'eux-mêmes, il s'ensuit qu'en
faisant a? = o, ce qui correspond à l'indice a, le second membre entier
CHAPITRE VI.— CYLINDRE SOLIDE. 353
s'évanouit. On conclut de là l'équation suivante :
X
\/f HVï) +(Vî)-
tl est aisé de voir que le second membre de cette équation est toujours
nul lorsque les quantités m et n sont du nombre de celles que nous
avons désignées précédemment par m,, m^, m,, .. . .
On a, en effet.
AX =
comparant les valeurs de AX, on voit que le second membre de l'équa-
tion (/) s'évanouiL
Il suit de là qu'après que l'on a multiplié par ddœ les deux termes
(le l'équation
0(0-) z=: «1 Wi-t- a^Ui-^ a,Mj-+-. . . ■+- aiUi-h. . .
et intégré de part et d'autre depuis x = o jusqu'à a? = X, chacune des
intégrales définies qui composent le second membre s'évanouit; il
suffît de prendre pour a la quantité xu, ou ^4* (^\/t )' " ^^"^ ^^'
cepter le seul cas où n est égal à m; alors la valeur de / au dx tirée de
Téquafion (/) se réduit à -j et on la détermine par les règles connues.
318.
Soit
/m In
Vl^f*' Va-""'
on aura
F. 45
354 THÉORIE DE LA CHALEUR.
le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur
par rapport à v donnera, en faisant p. = v,
•|, ']/\ 1" désignant
•K/^^). '^(/^X), +^(/xX),
On a, d'un autre côté, Téquation
fl^ u I du
i»M —
-+- - :r:^-r"^o
d'oii résulte
i)i celle-ci
dx^ X dx
^«4."+^.y+;i« Jkt dq -h 1 e~^* COS jrs'iïï'iq \J kt dq
OU celle-ci :
e-^ sinxl 1 ) ^Ç -^ I e~^'cosjr{ — —=:=^ -=- ) dq,
V2 ^ J J \2^—l 2 V^ - I /
qui équivaut à
e-*^
L'intégrale /^~(^v^-^)*^y^ prise depuis q =i ^ 'Xi jusqu'à y = x, est
v/t:; on a donc, pour la valeur de l'intégrale J(?~^'sin(.r -h 2^ v^7)rfy,
la quantité \/T:e~^'sin^, et en général
y/7re~"*^'sin/ijc = / e-*i* %\\\n[jo '{-2q^kt)dq,
On déterminera de la même manière l'intégrale
/ e~'f* COS n{x -h 2q^kt)dqf
dont la valeur est y/ize"'*'''^ cosna;.
'év
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 427
On voit par là que Tintégrale
équivaut à
— I e'*f dq \ [.
La valeur de la série représente, comme on l'a vu précédemment, une
fonction quelconque de a? -h ^q y/At; l'intégrale générale sera donc ex-
primée ainsi :
Au reste, l'intégrale de l'équation
du L.^^^
peut être présentée sous diverses autres formes. Toutes ces expressions
sont nécessairement identiques.
SECTION IL
DU MOUVEMENT LIBRE DE LÀ CHALEUR DANS UN SOLIDE INFINI.
372.
L'intégrale de l'équation
(«)
di^
K d'v
dt CD ôx^
fournit immédiatement celle de l'équation à quatre variables
(A)
dt " CD \dx^ "^ dy^ '^ dz^y
comme nous Tavons déjà remarqué en traitant la question de la propa-
gation de la chaleur dans un cube solide. C'est pour cela qu'il suffit,
en général, de considérer l'eifet de la diffusion dans le cas d'un solide
hl
k'2S THEORIE DE LA CHALEUR.
linéaire. Lorsque les corps n*ont point leurs dimensions infinies, la dis-
tribution de la chaleur est continuellement troublée par le passage du
milieu solide au milieu élastique; qu, pour employer les expressions
propres à TAnalyse, la fonction qui détermine la température ne doit
pas seulement satisfaire à Téquation aux différences partielles et à Tétat
initial : elle est encore assujettie a des conditions qui dépendent de la
figure de la surface. Dans ce cas, l'intégrale a une forme plus difficile
à connaître, et il faut examiner la question avec beaucoup plus de soin
pour passer du cas d'une coordonnée linéaire à celui des trois coordon-
nées orthogonales; mais, lorsque la masse solide n'est point interrom-
pue, aucune condition accidentelle ne s'oppose à la libre diffusion de
la chaleur : cet élément se meut de la même manière dans tous les
sens.
La température variable ^ d'un point d'une ligne infinie est ex-
primée par l'équation
(i) ^=-7= I e-i'/{j:-i-2qs/^t) dq.
X désigne la distance entre un point fixe o et le point m dont la tem-
pérature équivaut à s^ après le temps écoulé t: On suppose que la cha-
leur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie*,
et l'état initial de cette barre est exprimé par l'équation v = f[x).
L'équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est
celle-ci :
^^^ àt ~CD dr**
Mais, pour simplifier le calcul, on écrit
{b)
dt ■"■ dx^ '
ce qui suppose que l'on emploie au lieu de t une autre indéterminée /
égale a ^.
Si, dans une fonction f[x) de x et de constantes, on substitue
Vi
«se;
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. V29
X -^ in\Jt à 0? et si, après avoir multiplié par -p^e~"*dn, on intègre
V'iT
par rapport à n entre des linniites infinies, l'expression
I /*^*
-^ / e-'**/{x-h2n\/t)dn
satisfera, comme on Ta démontré plus haut, a l'équation différen-
tielle [b)\ c'est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une
même valeur pour la fluxion seconde par rapporta x et pour la fluxion
première par rapport a t. D'après cela, il est évident qu'une fonction
de trois variables f{oo,y^z) jouira d'une semblable propriété si l'on
substitue, au lieu de x, y, z, les quantités
et si l'on intègre après avoir multiplié par
V^TT V " V ^
En effet, la fonction que l'on forme ainsi
-\ /»"•"* •»-»-• /*"'■" - ' .
TT ' / / / e-^^-P^''f*f[x 4- in\ft, y-^'^P^Jiy 5 H- 2^ V^^) dn dpdq
donnera trois termes pour la fluxion par rapport à /, et ces trois termes
' sont ceux que l'on trouverait en prenant la fluxion seconde pour cha-
cune des trois variables x, y, z. Donc l'équation
(I) v — if*! f f e"'^-P*-^^*/{a:'h2n\^ty y-h2p\/l, Z'^2q\^i)dndpdq
donne une valeur de v qui satisfait à l'équation aux différences par-
tielles
^^^ * dt~d^-'^dy^'^â^'
*
m
430 THÉORIE DE LA CHALEUH.
373.
Supposons maintenant qu'une masse solide sans figure, c'est-à-dire
qui remplit l'espace infini» contienne une quantité de chaleur dont la
distribution actuelle est connue. Soit
m
l'équation qui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la
molécule dont les coordonnées sont œ, r, z a une température ini-
tiale égale à la valeur de la fonction donnée ¥{x,y,z). On peut se
représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine
partie de la masse dont le premier élat est donné au moyen de l'équa-
tion i> = ¥{x,y, z), et que tous les autres points ont une température
initiale nulle. Il s'agit de connaître quel sera, après un temps donné,
le système des températures. Il faut, par conséquent, exprimer la tem-
pérature variable {^ par une fonction ^(x.y^z^t) qui doit satisfaire à
l'équation générale (A) et à la condition
Or la valeur de cette fonction est donnée par l'intégrale
En effet, cette fonction v satisfait à l'équation (A) et, si l'on y fait
/ = o, on trouve
ao ^-H «e r»-^»
3 ^-I-W ^-T-W >-l-T-W
:"*/ / / e-"'-P'-'i*¥{x,y,z)dndpd(]
OU, en achevant les intégrations,
F(J", J, -),
I
..#. -j..
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR.
VJl
374.
Puisque la fonction ^ ou ff{x,y,z,t) représente l'état initial lors-
qu'on y fait / = o, et qu'elle satisfait à l'équation différentielle de la
propagation de la chaleur, elle représente aussi Tétat du solide qui a
lieu au commencement du second instant; et, en faisant varier le se-
cond état, on en conclut que la même fonction représente le troisième
état du solide et tous les états suivants. Ainsi la valeur de ^^ que l'on
vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des
trois variables x, y, 5, donne la solution de la question; et l'on ne
peut supposer qu'il y ait une expression plus générale, quoique d'ail-
leurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très di-
verses.
Au lieu d'employer l'équation
on pourrait donner une autre forme à l'intégrale de l'équation
dv _ à- y
5? ""dû"»'
et il serait toujours facile d'en déduire l'intégrale qui convient au cas
des trois dimensions. Le résultat que l'on obtiendrait serait nécessaire-
ment le même que le précédent.
Pour donner un exemple de ce calcul, nous ferons usage de la va-
leur particulière qui nous a servi à former l'intégrale exponentielle.
Reprenant donc l'équation
(b)
ât
dx^
nous donnerons à (^ la valeur très simple ^""''cosw^r, qui satisfait évi
demment à l'équation différentielle [b). En effet, on en tire
dt
3r — n- V
et
■=■ — /i*i'.
■*r^Si
i
432 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Donc l'intégrale
€~'^*^ cos n X dn
L
convient aussi à Téquation (b); car cette valeur de ^ est formée de la
somme d'une infinité de valeurs particulières. Or l'intégrale précé-
dente est connue, et l'on sait qu'elle équivaut à -7= e *' {voir Tarticle
suivant). Cette dernière fonction de a? et / convient donc aussi avec
l'équation différentielle (b). Il est d'ailleurs très facile de reconnaître
immédiatement que la valeur particulière -i^c ^^ satisfait à l'équation
dont il s'agit.
Ce même résultat aura lieu si l'on remplace la variable x par a; — a,
a étant une constante quelconque. On peut donc employer comme va-
leur particulière la fonction — e *' , dans laquelle on attribue à a
une valeur quelconque. Par conséquent, la somme / -^^ ^e *' doL
satisfait aussi à l'équation différentielle [b)\ car cette somme se com-
pose d'une infinité de valeurs particulières de la même forme, multi-
pliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour
valeur de {^ satisfaisant à l'équation [b)
'■<
 étant un coefficient constant.
Si, dans cette dernière intégrale, on suppose
a — X
i\ji
7'
en faisant aussi À == — p? on aura
OU
1 z»"^*
CHAPITRE IX, - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 433
On voit par là comment l'emploi des valeurs particulières
e-'^'^cosna: ou — r e *'
s/t
conduit à Tintégrale sous forme finie.
375.
La relation qu'ont entre elles ces deux valeurs particulières se dé-
couvre lorsqu'on détermine l'intégrale
/ e-'^^'cosno' dn.
Pour effectuer l'intégration, on pourrait développer le facteur cosnx et
intégrer par rapport à n. On obtient ainsi une série qui représente un
développement connu; mais on déduit plus facilement ce résultat de
l'analyse suivante. L'intégrale 1 e''^*^cosnxdn se rapporte à celle-ci :
/ e-p*cos2pudp,
en supposant n^l = p^ et nx = 2pu. On a ainsi
e~'^*' cos n o' dn=z —r j q^P* Q,o^ipit dp.
On écrira maintenant
Çe-P'co%ipudp— - fe-P'^^P^^dp-h - j e-P*-^P"^^ dp
— ig-»' I e-P*^^P'*V^-^'''dp-^ -e-'*' I e-P^-^P'^'J-^-^^^dp
- ie-»' f€-ip-''yr''ydp -h - e"** fe-ip^'^^^'Ydp.
Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut
à v^-î:. En effet, on a, en général,
\fK= I e-1^ dq,
F. 55
kSk THÉORIE DE LA CHALEUR
et, par conséquent,
quelle que soit la constante b. On trouve donc, en faisant 6 = i:tt\/—*
et remplaçant q par/?,
/ e-P* cos 2 pu dp ^= v^TT e-"';
donc
et, mettant pour u sa valeur — -y on aura
r^' fit -- '
j e-'*''cosnxrf/2=: i /- *'.
Au reste, la valeur particulière 7= *' est assez simple pour qu'elle se
présente immédiatement sans qu'il soit nécessaire de la déduire de
celle-ci : e~"''^cosnx. Quoi qu'il en soit, il est certain que la fonction
_.r«
-p e ^' satisfait à l'équation différentielle
dv d'V ^
<.r — g)'
il en est de même, par conséquent, de la fonction -j=€ *' , quelle
que soit la quantité a.
376.
Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la
l.r — OL)*
fonction enxett,—e *' , par deux autres fonctions semblables^
l'une en y et /, l'autre en s et en /; le produit doit évidemment satis-
faire à l'équation
dv _ d*v d*v d^v
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 435
On prendra donc pour (^ la valeur ainsi exprimée
tj--tti' (r-?>" (5-T)*
V =:
e *' e *^ e *'
\/'t \ft s/~t
Si maintenant on multiplie le second membre par dtx, d^, dy et par
une fonction quelconque /(a, p, y) des quantités a, [3, y, on trouvera,
en indiquant l'intégration, une valeur de i^ formée de la somme d'une
infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbi-
traires.
11 suit de là que la fonction v peut être ainsi exprimée :
(./) ^'=j J J ^'^ *' aoi,i^,y)doLd^dy;
cette équation contient l'intégrale générale de la proposée (A). Le pro-
cédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué, parce
qu'il s'applique aux cas les plus variés; il est principalement utile
lorsque l'intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la sur-
face. En l'examinant avec attention, on reconnaîtra que les transfor-
mations qu'il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la
question. On peut aussi, dans l'équation (y), changer d'indéterminées;
si l'on prend
i\jt i\Jt i^t
on aura, en multipliant le second membre par un coefficient con-
stant A,
V = 2^ Afffe-^''*-*-P*-*-^*^ f{x -\-2nyft, y -\-'xp\Jlj z-\-icj\ft)dndp dq.
Prenant les trois intégrales entre les limites — ao et 4- œ et faisant
/ = o, afin de connaître l'état initial, on trouvera
Ainsi, en représentant les températures initiales connues par F(ar, y, :;),
436 THEORIE DE LA CHALEUR.
et donnant à la constante A la valeur 2'*'rt ^, on parviendra à l'intégrale
« ^, -4- gs y^+ OD
qui est la même que celle de l'article 372.
L'intégrale de l'équation (A) peut être mise sous plusieurs autres
formes, parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la
question que l'on se propose de résoudre.
Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions
ç(a7, y, z, i) sont les mêmes lorsqu'elles satisfont l'une et l'autre à l'é-
quation différentielle (A) et lorsqu'elles sont égales pour une valeur
déterminée du temps, il suit de ce principe que les intégrales qui se
réduisent, lorsqu'on y fait ^ = o, à une fonction arbitraire F(x, j, 5)
ont toutes le même degré de généralité; elles sont nécessairement iden-
tiques.
Le second membre de l'équation différentielle (a) était multiplié par
TTjTî et l'on a supposé dans l'équation (6) ce coefficient égal à l'unité.
Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d'écrire çjc au lieu
de /, dans l'intégrale (i), ou dans l'intégrale (I). Nous indiquerons
maintenant quelques-unes des conséquences que l'on déduit de ces
équations.
377.
La fonction qui sert d'exposant au nombre e dans l'équation (y) ne
peut représenter qu'un nombre absolu, ce qui suit des principes géné-
raux du calcul, comme on l'a prouvé explicitement dans la Section IX
du Chapitre II (p. i35). Si, dans cet exposant, on remplace l'indéter-
minée t par -p^f on voit que, les dimensions de K, C, D et / par rapport
à l'unité de longueur étant —1,0, — 3, et o, la dimension du déno-
minateur ^ est 2, comme celle de chaque terme du numérateur, en
sorte que la dimension totale de l'exposant est o. Considérons le cas
où la valeur du temps t augmente de plus en plus; et, pour simplifier
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 437
cet examen, employons d'abord l'équation
'XSj'KtJ
qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie. Sup-
posons que la chaleur initiale est contenue dans une portion donnée de
la ligne, depuis x=i — h jusqu'à x = -h g^ et que l'on attribue à x une
valeur déterminée X, qui fixe la position d'un certain point m de cette
mI ty ^ ^C
ligne. Si le temps l croît sans limite, les termes — 7- et H — rj- qui
entrent dans l'exposant deviendront des nombres absolus de plus en
plus petits, en sorte que, dans le produit
__r' ia.r _a^
e »~'e*' e *',
on pourra omettre les deux derniers facteurs, qui se confondent sensi-
blement avec l'unité ('). On trouvera ainsi
(7)
C'est l'expression de l'état variable de la ligne après un temps très
(1) Cette partie des raisonnements nous échappe complètement, et nous croyons même
que les résultats énoncés par Fourier sont inexacts. Si, dans le produit
W Q kt c *',
on omet les doux derniers facteurs « qui se confondent sensiblement avec l'unité »y pour-
quoi ne pas omettre le premier qui se trouve dans les mêmes conditions ?
D'ailleurs, si Ton change l'origine dos abscisses en la déplaçant d'une longueur / sur la
droite, il faudra remplacer le facteur e *' par e *' , ce qui donnerait autant de lois
nouvelles que l'on attribuera de valeurs différentes à la constante /.
Il nous semble qu'il serait plus exact de raisonner de la manière suivante :
(x—OD*
Lorsque t grandit indéfiniment, le facteur e ^' tend vers Tunité, et la température v
tend vers l'expression asymptotique
c'est-à-dire que l'on a
V =:ǻl(l-f- W),
i^38 THÉORIE DE LA CHALEUR.
long; elle s'applique à toutes les parties de cette ligne qui sont moins
/{0L)d0L
h
désigne la quantité de chaleur totale B contenue dans le solide, et Ton
b> étant une quantité qui. tend vers zéro, pour chaque valeur de x, lorsque t augmente
indéfiniment.
Si Ton veut avoir une expression plus approchée de v, on remplacera Texponentielle
e *' par la valeur approchée i— — ~ — -f les termes négligés étant de l'ordre
de — > et l'on aura
les termes négligés étant de l'ordre de — -^ • On trouve ainsi un résultat de la forme
(^) ^^=^1(1 jj y
A et B s'exprimant par un calcul facile en fonction des intégrales
f af(0i)ii0L, f 0L^fi0L)d%.
h
On pourrait encore écrire au môme ordre d'approximation
(3) v-vie *'
Si l'on prenait, comme le propose Fourier,
on conserverait un terme — -r- et Ton en négligerait deux autres du même ordre ' ,
4» 4 '
- — ; ce qui est évidemment inadmissible.
Au reste, les formules que nous proposons de substituer à celles de Fourier peuvent
devenir illusoires dans le cas particulier où l'on a
c'est-à-dire où la température moyenne de la barre est nulle. Mais la méthode que nous
avons suivie demeurera encore applicable. Il suffira de déveloi^per l'exponentielle e
et de conserver dans l'intégrale les premiers termes qui diffèrent de zéro. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 439
voit -que la distribution primitive n'a plus d'influence sur les tempé-
ratures après un temps très long. Elles ne dépendent plus que de la
somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a été répartie.
378.
Si Ton suppose qu'un seul élément o), placé à l'origine, a reçu la
température initiale /et que tous les autres avaient la température o,
le produit o)/ sera équivalent à Tintégrale / /(a) d% ou B. La con-
stante/sera extrêmement grande, puisqu'on suppose la ligne co très
petite.
L'équation
2
s/tzI
représente le mouvement qui aurait lieu si un seul élément placé à
l'origine eût été échauffé. En effet, si l'on donne à x une valeur quel-
e *'
conque a, non infiniment petite, la fonction — ^ sera nulle lorsqu'on
supposera / = o. Il n'en sera pas de même si la valeur de x est nulle.
kl
Dans ce cas, la fonction -— =- reçoit au contraire une valeur infinie pour
^ = o. On connaîtra distinctement la nature de cette fonction si Ton
applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à la
surface qui aurait pour équation
L'équation
X*
2
y/ïâ
exprime donc la température variable d'un point quelconque du prisme
lorsqu'on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément
placé à l'origine. Cette hypothèse, quoique particulière, appartient à
kkO THÉORIE DE LA CHALEUR.
une question générale, parce que, après un temps assez long, l'état
«
variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eût
été rassemblée à l'origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été dis-
tribuée influe beaucoup sur les températures variables du prisme;
mais cet effet s'affaiblit de plus en plus et finit par devenir entièrem-ent
insensible.
379.
Il est nécessaire de remarquer que Téquation réduite (y) ne s'ap-
plique point à la partie de la ligne qui est placée au delà du point /ti
dont la distance a été désignée par X. En effet, quelque grande que
soit la valeur de temps, on pourrait choisir une valeur de x telle que
le terme e *' différât sensiblement de l'unité, et alors ce facteur ne
doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que Ton a marqué,
de part et d'autre de l'origine o, deux points m et m' placés à une cer-
taine distance X ou — X, et que l'on augmente de plus en plus la va-
leur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne
qui est comprise entre m et m\ Cet état variable convergera de plus en
plus vers celui qui est exprimé par l'équation
(/)
Quelle que soit la valeur attribuée à X, on pourra toujours trouver
une valeur du temps assez grande pour que l'état de la ligne m'om ne
diffère pas sensiblement de celui qu'exprime l'équation précédente (y).
Si Ton demande que cette même équation s'applique à d'autres parties
plus éloignées de l'origine, il faudra supposer une valeur du temps
plus grande que la précédente.
L'équation (j)».qui exprime dans tous les cas l'état final d'une ligne
quelconque, fait voir que, après un temps extrêmement long, les divers
points acquièrent des températures presque égales, et que les tempé-
ratures d'un même point finis^nt par varier en raison inverse de la
racine carrée des temps écoulés depuis le commencement de la diff^u-
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ul
sion. Les décroissements de la température d'un point quelconque
deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.
380.
Si Ton faisait usage de Tintégrale
(0
2 y/TT kt J
pour connaître Fétat variable des points de la ligne placés à une grande
distance de la portion échauffée et que, pour exprimer cette dernière
a« ~ î a .r
condition, on supprimât encore le facteurs *^' , les conséquences
que Ton obtiendrait ne seraient pas exactes. En effet, en supposant
que la portion échauffée s'étende seulement depuis a = o jusqu'à a = g\
et que la limite g soit très petite par rapport à la distance x du point
dont on veut déterminer la température, la quantité — . , qui
forme l'exposant se réduit bien à 7-77-; c'esl-à-dire que la raison des
deux quantités ^ . et -rrr approche d'autant plus de l'unité que
la valeur de x est plus grande par rapport à celle de a ; mais il ne s'en-
suit pas que Ton puisse remplacer l'une de ces quantités par l'autre
dans l'exposant de e. En général, l'omission des termes subordonnés
ne peut avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigo-
nométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de co-
sinus, ou sous le signe exponentiel e, sont toujours des nombres
absolus, et l'on ne peut omettre que les parties de ces nombres dont
la valeur est extrêmement petite; leurs valeurs relatives ne sont ici
d'aucune considération. Pour juger si l'on peut réduire l'expression
doc
0
à celle-ci :
■**' / Aa)dcc,
0
F. 56
W2 THÉORIE DE LA CHALEUR.
il ne faut pas examiner si le rapport de a? à a est très grand, mais si.
les termes -7^ > ^^ sont des nombres très petits. Cette condition a
[\kt i\kt ^
toujours lieu lorsque le temps écoulé t est extrêmement grand; mais
elle ne dépend point du rapport
X
CfL
381.
Supposons maintenant que Ton veuille connaître combien il doit
s'écouler de temps pour que les températures de la partie du solide
comprise depuis 07=0 jusqu'à a; = X puissent être représentées à
très peu près par l'équation réduite
o et pétant les limites de la portion primitivement échauiïée.
La solution exacte est donnée par l'équation
g _'*-'^'
(0 s^^ , / e ''' /{oL)d(x
et la solution approchée est donnée par l'équation
(7)
isjTikt J.
K
k désignant la valeur ^^ de la conducibilité. Pour que l'équation (y)
puisse être en général substituée k la précédente (i), il faut que le
iOL.r — ix*
facteur e ^^' , qui est celui que Ton omet, diffère très peu de l'unité;
car, s'il était 2 ou ^, on pourrait craindre de commettre une erreur
égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc
(u étant une petite fraction, comme 7^ ou 7^, on en conclura la
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W3
condition
aao: — a* aaj? — a'
j- =&> ou /= — ;r-, >
et, si la plus grande valeur g que puisse recevoir la variable a est
très petite par rapport à x^ on aura
On voit par ce résultat que, plus les points dont on veut déterminer
la température au moyen de l'équation réduite sont éloignés de l'ori-
gine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande ( * ).
Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi
indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la
diffusion est sensiblement opérée; c'est-à-dire que l'état du solide ne
dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la dis-
tribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voi-
sins de l'origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par
l'équation réduite (j); mais il n'en est pas de même des points très
distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation
que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numé-
riques rendront cette remarque plus sensible.
382.
Supposons que la substance dont le prisme est formé est le fer, et
que la portion de ce solide qui a été échauffée a o",i d'étendue, en
sorte que ^= o,i. Si l'on veut connaître quelle sera, après un temps
donné, la température d'un point m dont la distance à l'origine est i*",
et si Ton emploie pour ce calcul l'intégrale approchée (j), on com-
(*) Les explications données plus haut montrent quo ces conclusions sont inexactes.
Pour les points assez voisins do l'origine, la loi représentée par l'équation réduite Q) ne
sera jamais applicable. Elle pourra, au contraire, convenir aux points très éloignés pendant
la période de temps pour laquelle - a des valeurs très petites, — ayant, au contraire, des
valeurs sensibles. " G. I).
4U THÉORIE DE LA CHALEUR.
mettra une erreur d'autant plus grande que la valeur du temps sera
moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la
quantité cherchée si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.
Dans ce cas, la distance comprise entre l'origine o et le point m dont
on détermine la température est seulement dix fois plus grande que la
portion échauffée. Si ce rapport est loo au lieu d'être lo, l'intégrale
réduite {y) donnera la température à moins de -^ près lorsque la va-
leur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que Tapproximation
soit admissible, il est nécessaire, en général, i° que la quantité — j^- —
ne puisse équivaloir qu'à une très petite fraction, comme -—^ ou ~
au plus; 2° que l'erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue
beaucoup moindre que les petites quantités que l'on observe avec les
thermomètres les plus sensibles.
Lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de la portion
du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu*il
s'agit de déterminer sont extrêmement petites; ainsi l'erreur que l'on
commettrait en se servant de l'équation réduite aurait une très petite
valeur absolue; mais il ne s'ensuit pas que l'on soit autorisé à faire
usage de cette équation; car, si l'erreur commise, quoique très petite,
surpasse ou égale la quantité cherchée, ou même si elle en est la
moitié, ou le quart, ou une partie notable, l'approximation doit être
rejetée. Il est manifeste gue, dans ce cas, l'équation approchée {y)
n'exprimerait point l'état du solide, et que l'on ne pourrait point s'en
servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de
deux ou plusieurs points.
383.
Il suit de cet examen que l'on ne doit point conclure de l'intégrale
r^-— :. / e *^' /{oc)da
que la loi de la distribution primitive n'inQue pas sur la température
des points très éloignés de l'origine. L'effet résultant de cette distri-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W5
bution cesse bientôt d'avoir lieu pour les points voisins de la portion
échauffée, c'est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la
quantité de chaleur initiale, et non de la répartition qui en avait été
faite; mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l'em-
preinte de la distribution; elle la conserve, au contraire, pendant
un très long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l'équa-
tion
ne représente les températures des points extrêmement éloignés de la
partie échauffée qu'après un temps immense. Si on l'appliquait sans
cette condition, on trouverait des résultats doubles ou triples des véri-
tables, ou même incomparablement plus grands ou plus petits; et cela
n'aurait pas lieu seulement pour des valeurs très petites du temps,
mais pour de grandes valeurs telles que une heure, un jour, une
année. Enfin cette expression serait d'autant moins exacte, toutes
choses égales d'ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la
partie primitivement échauffée.
384.
Lorsque la diffusion de la chaleur s'opère dans tous les sens, l'état
du solide est représenté, comme on l'a vu, par l'intégrale
(y) v>z:z / rie ^*' f{a,%y)dad^dy.
Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la
masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie
échauffée; et les quantités a, p, y qui varient sous le signe intégral ne
pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons
donc que l'on marque sur les trois axes six points dont les distances
sont -f-X, -h Y, -hZ et —X, —Y, — Z, et que l'on considère les
états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces
W6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
distances; on voit que l'exposant de e^ sous le signe d'intégration, se
réduit à — ^- — -;^- — — lorsque la valeur du temps écoulé augmente
sans borne. En effet, les termes tels que ^77 et -rr. reçoivent dans ce
cas des valeurs absolues très petites, parce que les numérateurs sont
compris entre des limites fixes et que les dénominateurs croissent à
rinfini. Ainsi les facteurs que l'on omet diffèrent extrêmement peu de
l'unité. Donc l'état variable du solide, après une grande valeur du
temps, a pour expression
.r' -♦->•*-»- 5 •
—-3^ *" ////(a,(3,y)^a^?^y.
Le facteur
représente la quantité totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi
le système des températures ne dépend point de la distribution de la
chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer
que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément pris-
matique placé à l'origine, et dont les dimensions orthogonales et extrê-
mement petites seraient co,, (O2, (O3. La température initiale de cet élé-
ment serait désignée par un nombre extrêmement grand /, et toutes
les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle.
Le produit Oô.tOa 0)3/ équivaut, dans ce cas, k l'intégrale
fJJf{0L,%y)dadpdy.
Quel que soit réchauffement initial, l'état du solide qui correspond à
une valeur du temps très grande est le même que si toute la chaleur
avait été réunie dans un seul élément placé à l'origine.
385.
Supposons maintenant que l'on ne considère que les points du so-
lide dont la distance à l'origine est très grande par rapport aux dimen-
sions de la partie échauffée; on pourrait d'abord penser que cette con-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 417
dition suffit pour réduire Texposanlde e dans l'intégrale générale. En
effet, cet exposant est
kkt '
et les variables a, p, y sont, par hypothèse, comprises entre des limites
déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement
petites par rapport à la plus grande coordonnée d'un point très éloigné
de l'origine. Il suit de là que l'exposant de e se compose de deux par-
ties M et [Jb, dont l'une est très petite par rapport à l'autre. Mais de ce que
le rapport — est une très petite fraction on ne peut pas conclure que
l'exponentielle é^'^^ devienne égale à ^^ ou n'en diffère que d'une
quantité très petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point
considérer les valeurs relatives de M et [jl, mais seulement la valeur
absolue de (x. Pour que l'on puisse réduire l'intégrale exacte (y) à
l'équation
B
e
2^
'(j.kt)^
il est nécessaire que la quantité
2aj?-f- 2^/-+- 2y-3 — a* — (3' — y*
l^kt '
dont la dimension est o, soit toujours un nombre fort petit. Si l'on sup-
pose que la distance de l'origine au point m dont on veut déterminer
la température est très grande par rapport a l'étendue de la partie qui
a été d'abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est tou-
jours une très petite fraction o). Il faut que cette condition soit satis-
faite pour que l'on puisse employer l'intégrale approchée
mais cette équation ne représente point l'état variable de la partie de
la masse qui est très distante du foyer. Elle donne au contraire un
kkS THÉORIE DE LA CHALEUR.
résultat d'autant moins exact, toutes choses d'ailleurs égales, que
les points dont on détermine la température sont plus éloignés du
foyer.
La' chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la
masse solide pénètre successivement les parties voisines et se répand
dans tous les sens; il n'en parvient qu'une quantité extrêmement
petite aux points dont la distance à l'origine est très grande. Lorsqu'on
exprime par l'analyse la température de ces points» l'objet du calcul
n'est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont
point mesurables, mais de connaître leurs rapports. Or ces quantités
dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a
été distribuée, et l'effet de cette répartition initiale dure d'autant plus
que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. Mais, si les
termes qui font partie de l'exposant, tels que -jj-r ^^ rr}^ ^"^ ^^s va-
leurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les inté-
grales approchées.
Cette condition a lieu dans les questions où l'on se propose de déter-
miner les plus hautes températures des points très éloignés de l'ori-
gine. En effet, on peut démontrer que, dans ce cas, les valeurs du
temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et
qu'elles sont proportionnelles au carré de ces distances lorsque les
points que l'on considère sont très éloignés de l'origine. Ce n'est
qu'après avoir établi cette proposition qu'on peut opérer la réduction
sous l'exposant. Les questions de ce genre seront l'objet de la Section
suivante.
SECTION III.
PES PLUS HAUTES TEMPÉRATURES DANS UN SOLIDE INFINI.
386.
Nous considérerons en premier lieu le mouvement linéaire dans
une barre infinie dont une portion a été uniformément échauffée, et
nous chercherons quelle doit être la valeur du temps écoulé pour
j
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. W9
qu'un point donné de cette ligne parvienne à sa plus haute tempéra-
ture.
On désignera par ag l'étendue de la partie échauffée dont le milieu
coïncide avec l'origine o des distances x. Tous les points dont la
distance à l'axe des y est moindre que g et plus grande que —g ont,
par hypothèse, une température initiale commune /, et toutes les au-
tres tranches ont la température initiale o. On suppose qu'il ne se fait
à la surface extérieure du prisme aucune déperdition de chaleur, ou,
ce qui est la même chose, on attribue à la section perpendiculaire à
l'axe des dimensions infinies. Il s'agit de connaître quel sera, pour un
point donné dont la distance est x, le temps t qui répond au maximum
de température.
On a vu, dans les articles précédents, que la température variable
d'un point quelconque est exprimée par l'équation -
(a-.r)«
V:=^ / le '"' f{(X)d0L.
Le coefficient k représente tt^j K étant la conducibilité spécifique,
G la capacité de chaleur et D la densité. On fera k = i pour simplifier
le calcul et, dans le résultat, on écrira kt ou 7^ au lieu de t. L'expres-
sion de v" est donc
Elle est l'intégrale de l'équation
La fonction -5- mesure la vitesse avec laquelle la chaleur s'écoule sui-
vant l'axe du prisme. Or cette valeur de -r- est donnée dans la ques-
tion actuelle sans aucun signe d'intégrale. On a, en effet.
sJ-KtJ-g ^^
F. ^ 57
kSO THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou, en achevant l'intégration ^
387. .
La fonction ~ peut donc aussi être exprimée sans signe d'inté-
grale; or elle équivaut à la fluxion du premier ordre ^; donc, en éga-
lant à zéro cette valeur de j-> qui mesure Taccroissement instantané
de la température d'un point quelconque, on aura la relation cherchée
entre x et /. On trouve ainsi
ce qui donne
(jc-^g)e *' —{x-'g)e *' ;
on en conclut
tr= — ^
' et il ré-
sulte de ce qui a été dit précédemment que l'état variable du solide
sera exprimé par l'équation
2 sjizkt
le coefficient ^, qui entre dans l'équation différentielle
^' - L ^ _ /
dt ~" CI) dx^ '
HL
est ici encore désigné par k\ quant au coefficient A, il équivaut à çTy^'y
on désigne par S l'aire de la section du prisme, par L le contour de
cette section et par H la conducibilité de la surface extérieure. En sub-
stituant ces valeurs dans l'équation (a), on a
(A) ri= % P. '^' e ^"S ;
/représente la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'au-
ko2 THÉORIE DE LA CHALEUR.
rait un seul point si Ton distribuait également la chaleur initiale entre
tous les points d'une portion de la barre dont ia longueur serait b ou,
plus simplement, l'unité de mesure. Il s'agit de déterminer la valeur
du temps écoulé t qui répond au maximum de température d'un point
donné.
Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l'équation {a) la
dt
valeur de -rr et de l'égaler à zéro; on aura
dv . a:' IV
et
I ik i l\hk
(^)
t^ x- t X
t
Donc la valeur 6 du temps qui doit s'écouler pour que le point placé à
la distance x atteigne sa plus haute température est exprimée par
l'équation
(c) Okz=i
x^ \ x"^ ^ kx*
Pour connaître la plus haute température V, on remarquera que
l'exposant de e"* dans l'équation (a) est ht -h j-rr 0"* l'équation [h)
donne
, X^ I
donc
, X^ X^ {
ht -f- y-T- ■= —,
4 kl 2 kl 2
et, mettant pour - sa valeur connue, on a
substituant cet exposant de e~* dans l'équation (a), on a
2\/nk9
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CFIALEUR. 1^33
et, remplaçant y^O par sa valeur connue, on trouve, pour l'expression
du maximum y.
Les équations {c) et (rf) contiennent la solution de la question; on
remplacera h et k par leurs valeurs >,^ ^^ n>» ^^ P®^^ aussi écrire -
au lieu de |r> en représentant par g la demi-épaisseur du prisme, dont
la base est un carré. On aura, pour déterminer 6 et V, les équations
(C) ^e=- -'
I-I-2
Au , i
n^^ v ¥ a / AK , i e ^k^' "^î
(D) V=-^i/ i + 2 4/=^,r«-h 7
2^nV y ^^ 4 ^
Ces équations s'appliquent au mouvement de la chaleur dans une
barre peu épaisse dont la longueur est très grande. On suppose que le
milieu de ce prisme a été affecté d'une certaine quantité de chaleur bf,
qui se propage jusqu'aux extrémités et se dissipe par la surface con-
vexe. V désigne le maximum de température pour le point dont la dis-
tance au foyer primitif est a?; 0 est le temps qui s'écoule depuis le
commencement de la diffusion jusqu'à l'instant où la plus haute tem-
pérature V a lieu. Les coefficients C, H, K, D désignent les mêmes pro-
priétés spécifiques que dans les questions précédentes; et g est le
demi-côté du carré formé par une section du prisme.
389.
Si l'on veut rendre ces résultats plus sensibles par une application
numérique, on supposera que la substance dont le prisme est formé
est le fer, et que le côté 2gdn carré est là vingtK^inquième partie d'un
mètre.
Nous avons mesuré autrefois,, par nos expériences, les valeurs de
1^5'* THÉORIE DE LA CHALEUR.
U, K; celles de C et D étaient déjà connues. En prenant le mëtre pour
unité de longueur, la minute sexagésimale pour unité de temps et em-
ployant les valeurs approchées de H, K, CD, on déterminera les valeurs
de V et de 6 relatives à une distance donnée. Pour Texamen des con-
séquences que nous avons en vue, il n'est pas nécessaire de connaître
les coefficients avec une grande précision.
On voit d'abord que, si la distance x est d'environ un mètre et demi
Q H .
ou deux mètres, le terme r— ^^ qui entre sous le radical a une grande
valeur par rapport au second terme j. Le rapport de ces termes est
d'autant plus grand que la distance est plus grande.
Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus
simple à mesure que la chaleur s'éloigne de l'origine. Pour déterminer
cette loi régulière qui s'établît dans toute l'étendue de la barre, il faut
supposer que la distance x est très grande, et l'on trouve
CD^-
/aH
ou
et _
■
390.
On voit par la première équation que le temps qui répond au maxi-
mum de température croit proportionnellement à la distance. Ainsi la
vitesse de l'onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au
mouvement dont il s'agit) est constante, ou plutôt elle le devient de
plus en plus et conserve cette propriété en s'éloignant à l'infini de l'o-
rigine de la chaleur.
On remarquera aussi dans la seconde équation que la quantité
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR, 455
fe "^ exprime les températures permanentes que prendraient les
différents points de la barre si Ton affectait l'origine d'une tempéra-
ture fixe/, comme on peut le voir dans le Chapitre I (art. 76, p. 55).
Il faut donc, pour se représenter la valeur de V, concevoir que toute
là chaleur initiale que le foyer contient est également distribuée dans
une portion de la barre dont la longueur est b, ou l'unité de mesure.
La température /qui en résulterait pour chaque point de celte portion
est, en quelque sorte, la température moyenne. Si l'on supposait que
la tranche placée à l'origine fût retenue pendant un temps infini à la
température constante /, toutes les autres tranches acquerraient des
températures fixes dont l'expression générale est/e ^^, en désignant
para? la distance delà tranche. Ces températures fixes, représentées par
les ordonnées d'une logarithmique, sont extrêmement petites lorsque
la distance est- un peu considérable; elles décroissent, comme on le
sait, très rapidement à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. Or l'é-
quation (S) fait voir que ces températures fixes, qui sont les plus
hautes que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les
plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de
la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum , il faut calculer
la valeur du maximum fixe, la 'multiplier par le nombre constant
(|7— y -tLt, et diviser par la racine carrée de la distance x.
Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l'étendue
de la ligne comme les ordonnées d'une logarithmique divisées par les
racines carrées des abscisses, et le mouvement de l'onde est uniforme.
C'est suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point
se propage dans le sens de la longueur du solide.
391.
Si l'on regardait comme nulle la conducibilité de la surface exté-
rieure du prisme, ou si la conducibilité K ou l'épaisseur 2g était
supposée infinie, on obtiendrait des résultats très différents. On
\S6 THEORIE DE LA CHALEUR.
omettrait alors le terme =7- ac*. et l'on aurait
!^? = i:r« et \^ jL '
CI) a y^2 7re "^
Dans ce cas, la valeur du maximum est en raison inverse de la distance;
ainsi le mouvement de l'onde ne serait point uniforme, llfaut remar-
quer que cette hypothèse est purement théorique et que, si la condu-
cibilité H n'est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement
petite, la vitesse de Tonde n'est point variable dans les parties du
prisme qui sont très éloignées de l'origine. En effet, quelque petite
que soit la valeur de H, si cette valeur est donnée, ainsi que celles de
K et g, et si l'on suppose que la distance x augmente sans limite, le
terme ît^^^ deviendra toujours beaucoup plus grand que \. Les dis-
tances peuvent d'abord être assez petites pour que ce terme jr-^^t* doive
être omis sous le radical : alors les temps sont proportionnels aux car-
rés des distances; mais, à mesure que la chaleur s'écoule dans le sens
de la longueur infinie, la loi de la propagation s'altère, et les temps
deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c'est-à-dire
celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère
beaucoup de la loi finale qui s'établit dans les parties très éloignées et
jusqu'à l'infini; mais, dans les portions intermédiaires, les plus hautes
températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les
deux équations précédentes (C) et (D).
392.
Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas
où la chaleur se propage à l'infini et en tout sens dans la matière
solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d'après les prin-
cipes que nous avons établis.
Lorsqu'une portion déterminée d'un solide infini a été échauffée, et
que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale o«
la chaleur se propage dans tous les sens et, après un certain temps.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W7
l'état du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie
dans un seul point à l'origine des coordonnées. Le temps qui doit s'é-
couler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand lorsque
les points de la masse sont très éloignés de l'origine. Chacun de ces
derniers points, qui avait d'abord la température o, s'échauffe insen-
siblement; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur
qu'elle puisse recevoir (^); et elle finit par diminuer de plus en plus
jusqu'à ce qu'il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L'état
variable est en général représenté par l'équation
(E) v^\ / / — -—^——f{a,h,c)dadbdn
J J J 2 y 71^ 2^71^ 2\jT:t
les intégrales doivent être prises entre les limites
a = — a,, «=:a,; 6=: — b^ b=-bx\ c = — C|, c=zc^.
Les limites —a,, h- a^, — -^i» -f-^a» — ^i» -+-^2 sont données; elles
comprennent toute la portion du solide quia été primitivement échauf-
fée. La fonction/(a, 6, c) est aussi donnée ; elle exprime la température
initiale du point dont les coordonnées sonta, b^ c. Les intégrations dé-
finies font disparaître les variables a, b, c et il reste pour t' une fonc-
tion de ce, J, z, t et des constantes. Pour déterminer le temps 0 qui
répond au maximum de t', en un point m donné, il faut tirer de l'équa-
tion précédente la valeur de -j-; on formera ainsi une équation qui
contient 0 et les coordonnées du point m. On en pourra donc déduire
la valeur de 0, Si l'on substitue ensuite cette valeur de 0 au lieu de /
dans l'équation (E), on connaîtra la valeur de la plus haute tempéra-
ture V exprimée en a?, y, z et en constantes.
On écrira, au lieu de l'équation (E),
V = fff^f{ciy b, c) da db de,
(*) Il ne parait pas certain que la température passe par un seul maximum; il pourrait
y avoir, au moins en certains points^ toute une succession de maxima et de minima.
G. D.
F. 58
458 THÉORIE DE*LA CHALEUR.
en désignant par P le produit des trois fonctions semblables; on aura
ensuite
(O
Tt^-l'i-^J JJ kl} fna.b.c)dadbdc.
393.
Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points
(lu solide qui sont très éloignés de Torigine. Un point quelconque de
la portion qui contient la chaleur initiale a pour coordonnées les va-
riables a, h, c; et le point m dont on veut déterminer la température a
pour coordonnées^,/, z. Le carré de la distance de ces deux points
est [a — 37)^4- [b — j)^-i- [c — s)', et cette quantité entre comme fac-
teur dans le second terme de ^- Or, le point m étant très éloigné de
Torigine, il est évident que sa distance A à un point quelconque de la
portion échauffée se confond avec la distance D de ce même point à
Torigine; c'est-à-dire que, le point m s'éloignant de plus en plus du
foyer primitif qui contient l'origine des coordonnées, la dernière raison
des distances D et A est i .
Il suit de là que, dans l'équation (e) qui donne la valeur de -^r ''
faut remplacer le facteur(a — x)^-h(6 — j)^-f-(c — 5)'* par x^-i- y^-^rz^
ou r^, en désignant par r la distance du point m à l'origine. On aura
donc
dv 3 V '•'
ou
dt \W 2tJ
Kt
Si l'on met pour v sa valeur et si l'on remplace / par t^> afin de rétablir
K
le coetlicient ^Tt que l'on avait supposé égal à i , on aura
(^'^ dî='U[Ki) -ZKi\[ï^t) J J J ' Aa,b,c)dadbdc
à
1
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUU. 459
394.
Ce résultat ne convient qu'aux points du solide dont la distance à
l'origine est très grande par rapport à la plus grande dimension du
foyer. Il faut toujours remarquer avec soin qu'il ne résulte pas de cette
condition que l'on puisse omettre les variables a, b, c sous le signe
exponentiel. On doit seulement les omettre hors de ce signe. Si Ton
ne faisait point cette distinction, on pourrait commettre une erreur
considérable. En effet, le terme qui entre sous les signes d'intégration
et qui multiplie/(a, 6, c) est le produit de plusieurs facteurs tels que
CD , CD ■ CD .
Or il ne suffit pas que le rapport - soit toujours un très grand nombre
pour que l'on puisse supprimer les deux premiers facteurs ; par
exemple, si l'on suppose a égal à o™,î et x égal à lo"*, et si la sub-
stance dans laquelle la chaleur se propage est le fer, on voit qu'après
CD
neuf ou dix heures écoulées le facteur e^^^ est encore plus grand
que 2; donc, en le supprimant, on s'exposerait à réduire le résultat
cherché à la moitié de sa valeur. Ainsi la* valeur de -t-> telle qu'elle
convient aux points très éloignés de l'origine, et pour un temps quel-
conque, doit être exprimée par l'équation (a); mais il n'en est pas de
même si l'on ne considère que des valeurs du temps extrêmement
grandes et qui croissent proportionnellement au carré des distances.
Il faut, d'après cette condition, omettre sous le signe exponentiel
même les termes qui contiennent a, ou 6, ou c. Or la condition a lieu
lorsqu'on veut déterminer la plus haute température qu'un point éloi-
gné puisse acquérir, comme nous allons le prouver.
395.
En effet, la valeur de g- doit être nulle dans le cas dont il s'agit; on
aura donc
CD~"6
r«/CpY__3 CD_
4 \Kt) 2 Kr""^
ou rq^ =1 7T /•*.
460 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Ainsi le temps qui doit s'écouler pour qu'un point très éloigné ac-
quière sa plus haute température est proportionnel au carré de la dis-
tance de ce point à l'origine ( * ).
Si, dans l'expression de v, on remplace ^-j-- par sa valeur — ;5» l'ex-
posant de e~* , qui est
3 (a-a-)«-h{6-.rr-+-(c-:;)*
2 r*-
peut se réduire à |, parce que les facteurs que l'on omet se confondent
avec l'unité.
On trouve, par conséquent,
3
,t /•» ,1
L'intégrale j j j f[a,b,c)dadbdc représente la quantité de chaleur
initiale; le volume de la sphère dont le rayon estr estluA^, en sorte
( 1) Si, dans l'expression exacte
(n—T)*-\-[b—y)*-^-(c—z i«
v^ — i— j / / le • *»^' f{a,b,c)dadbdc.
on prend la dérivée par rapport à t^ on trouve
Supposons, pour fixer les idées, la température primitive /(«. b, c) toujours positive. L'in-
tégrale précédente no pourra être nulle que si le facteur
~ f/ "^ 4¥7? f^'' ~ •^^' ■*" ^ '^ ~^ ^' "^ ^ ^ ~ ' ^' 1
change de signe dans les limites des intégrations et, par conséquent, s'annule pour un
point (^, 7], ^) compris dans l'intérieur du parallélépipède primitivement échauffé. On a
donc pour / la valeur
qui devient sensiblement proportionnelle à j7»-f-^«H- z* lorsque le point (.«', j, z) s'éloigne
indéfiniment. G. D.
CHAPITRE IX.- DlFFUSlOiN DE LA CHALEUR. Wl
que, en désignant par /la température que recevrait chaque molécule
de cette sphère si Ton distribuait également entre ses parties toute la
chaleur initiale, on aura
'"G
=^v/S
Les résultats que nous avons exposés dans ce Chapitre font connaître
suivant quelle loi la chaleur contenue dans une portion déterminée
d'un solide infini pénètre progressivement toutes les autres parties
dont la température initiale était nulle. Cette question est résolue par
une analyse plus simple que celle des Chapitres précédents, parce
qu'en attribuant au solide des dimensions infinies on fait disparaître
les conditions relatives à la surface, et que la principale difficulté con-
siste dans l'emploi de ces dernières conditions. Les conséquences géné-
rales du mouvement de la chaleur dans une masse solide non terminée
sont très remarquables, parce que le mouvement n'est point troublé
par l'obstacle des surfaces : il s'accomplit librement en vertu des pro-
priétés naturelles de la chaleur. Notre analyse est, à proprement
parler, celle de l'irradiation de la chaleur dans la matière solide.
SECTION IV.
COMPARAISON DES INTÉGRALES.
396.
L'intégrale de l'équation de la propagation de la chaleur se présente
sous différentes formes qu'il est nécessaire de comparer. Il est facile,
comme on le voit dans la Section II de ce Chapitre (art. 372 et 376,
p. 427 et 434), de ramener le cas des trois dimensions à celui du mou-
vement linéaire; il suffit donc d'intégrer l'équation
ou celle-ci :
ds>
K d*v
dt ~~
CD dx^
dv
d^v
dt
~ dx*
h62 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Pour déduire de cette équation difTérentielle les lois de la propagation
de la chaleur dans un corps d*une figure déterminée, par exemple dans
une armille, il était nécessaire de connaître Tintégrale, et de Tobtenir
sous une certaine forme propre à la question et qui ne pourrait être
suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée, pour la pre-
mière fois, dans notre Mémoire remis à l'Institut de France le 21 dé-
cembre 1807 (art. 84, page 12^4 de ce Mémoire) : elle consiste dans
réquation suivante, qui exprime le système variable des températures
d'un anneau solide,
doit être prise, par rapport à a, depuis a = o jusqu'à a == 2i:R ou, ce
qui donne le même résultat, depuis a = — irR jusqu'à a = rR; i est
un nombre entier quelconque et la somme Z doit être prise depuis
I — — 00 jusqu'à e = -^ Qo; i^ désigne la température que l'on observe-
rait après le temps écoulé / en chaque point d'une section séparée par
Tare X de celle qui est à l'origine. On représente par v = F(£r) la tem-
pérature initiale d'un point quelconque de l'anneau. Il faut donner à i
les valeurs successives
o, ^ I, -h 2, -h 3, -h. . .
et
t y ^, w», • • • f
( < ) L.e Mémoire maDuscrit que cite ici Fourier ne nous est connu que par un extrait publié
dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique, année 1808, p. 112. Plus tard, le
28 septembre 1811, Fourier a présenté un autre Mémoire qui a été couronné dans la séance
publique du 6 janvier 1812. Ce second Mémoire, qui doit être considéré comme une
rédaction nouvelle du premier et qui est conservé dans les Archives de l'Académie des
Sciences, a été imprimé sans aucun changement dans le tome IV des Mémoires de l'Aca-
démie rojrale des Sciences de l'Itt^titut de France (pour les années 18 19 et 1820), publié
en 1824, et dans le tome V du même Recueil (pour les années 1821 et 1822), publié en
1826. On voit que la publication intégrale du Mémoire de 181 1 est postérieure à celle de
la Théorie analytique de la chaleur , qui a eu lieu en 1822. Les résultats des recherches
de Fourier avaient d'ailleurs été indiqués d'une manière détaillée dans divers articles des
Annales de Chimie et de Physique et du Bulletin des Sciences de la Société philomathique .
G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE l\ CHALEUR. 463
'X — a
et, au lieu de cosi . > écrire
cosi s cost Yy -+- sine jr sïni ^;
n 1\ K U
on obtient ainsi tous les termes de la valeur de i^. Telle est la forme
sous laquelle doit être mise Tintégrale de l'équation (a), pour ex-
primer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (Chap. IV,
art. 241, p. 244)- On considère le cas où la forme et l'étendue de la
section génératrice de Tarmille sont telles que les points d'une même
section conservent des températures sensiblement égales. On suppose
aussi qu'il ne se fait à la superficie de l'anneau aucune déperdition de
la chaleur.
397.
L'équation (a) s'appliquant à toutes les valeurs de R, on y peut sup-
poser R infini : elle donne, dans ce cas, la solution de la question sui-
vante. L'état initial d'un prisme solide d'une petite épaisseur et d'une
longueur infinie étant connu et exprimé par l'équation
déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon R comme
contenant un nombre n de fois le rayon i des Tables trigonométriques.
Désignant par q une variable qui devient successivement dq, idq,
Zdq idq^ ..., le nombre infini n sera exprimé par ^i et le
nombre variable i par ~ • Faisant ces substitutions, on trouve
i;= — V dqfe-^*^cosq{x — a)F{(x)d(x.
Les termes qui entrent sous le signe 2) sont des quantités difieren-
tielles, en sorte que ce signe devient celui d'une intégrale définie et
l'on a
(;3) v= — / F{a)d(xf e-''*'cosq{X'- (x)dq.
W* THÉORIE DE LA CHALEUR.
Cette équation est une seconde forme de l'intégrale de l'équa-
tion (a); elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un
prisme d'une longueur infinie (Chap. Vil, art. 354, p. 402). Elle est
une conséquence évidente de la première intégrale (a).
398.
On peut, dans l'équation (P), effectuer l'intégration définie par rap-
port à q; car on a, selon un lemme connu et que l'on a démontré pré-
cédemment (art. 375, p. 434)»
I c"-' cos a A 5 ^5 = v^ e-'*\
Faisant donc z^ = g^i et h= — ~y on trouvera
f e-v''cos^(j7 — a)^7 = i/- e ^ *^
-4 A. (7;^).
donc l'intégrale (P) de l'article précédent devient
(y) «'=—7= / e~^ *»'' ^ F(a)e/a.
Si l'on emploie, au lieu de a, une autre indéterminée ^ en faisant
on trouve
Cette forme (S) de l'intégrale de l'équation {a) a été donnée par M. La-
place dans le Tome VIII du Journal de l'École Polytechnique (*). Ce
grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie
qui représente l'intégrale.
(») P^oir la note p. ^14.
— r" el K' —.c -\- C s^" dt;
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 465
Chacune des équations (P), (y), (S) exprime la diffusion linéaire de
la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie. Il est évident que ce
sont trois formes d'une même intégrale, et qu'aucune ne peut être
considérée comme plus générale que les autres. Chacune d'elles est
contenue dans l'intégrale (a), dont on la dérive en donnant à R une
valeur infinie.
399.
Il est facile de développer la valeur de v déduite de l'équation [a]
en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'une ou
l'autre variable. Ces développements se présentent d'eux-mêmes, et
nous pourrions nous dispenser de les rapporter; mais ils donnent lieu
à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant
parc, 9", 9 , ... les fonctions -^, _^A^_^ _^-A_J, .. ., on a
ât
la constante représente ici une fonction quelconque de x\ En mettant
pour v" sa valeur c"-f- jv^'^dt, et continuant toujours des substitutions
semblables, on trouve
v — c~\-fv''dt
= c-^f{c'-{-fi''''dt)dt
^c^f[c'A-J'{c''-\- f'ç''''dt)dt^
ou
(T) ^ = c4-/c'-+- ~c'^'-h -^c^''-h— Ç^c^"' + ....
Dans cette série, c désigne une fonction arbitraire en œ.
Si l'on veut ordonner le développement de la valeur de v selon les
puissances ascendantes de a:, on écrira
et, désignant par ç,, ç,,, ç,^,, ... les fonctions
d(^ d}o d^(^
dt' 'dt^' IF' ■"'
F. 59
466 THÉORIE DE LA CHALEUR.
on aura d'abord
a et b représentent ici deux fonctions quelconques de /. On mettra
ensuite pour k\ sa valeur
a, -+- b,x -h f d.r I i\ dx,
et pour V,, sa valeur
a^-\- b^x + I dx j {\ dxy
et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,
v:=:za ->r bx H- / dx J V, dx
~a-\-bx->r- j dx I {o,-^ b^x -h f dxj^i^ dx) dx
zzza-^ bx-h fdxj[a,-^ b^x-\- f dx j (a^-h b^x -\- f dx j v^dx)dx]dx
ou
(\)
^ = ^ ^^^ T ^^^2.14 ■^''-2. 3.^75.6 "^••-
'2.3 ^2.3.4.5 ^'2.3.4.5.6.7
Dans cette série, a et b désignent deux fonctions arbitraires de /.
Si, dans cette série donnée par Téquation (X), on met, au lieu de
a et i, deux fonctions ç(/) et '|(^), et qu'on les développe selon les
puissances ascendantes de ^ en ordonnant le résultat total par rapport
à CCS mêmes puissances de /, on ne trouve qu'une seule fonction arbi-
traire de X, au lieu des deux fonctions a et b. On doit cette remarque
à M. Poisson, qui l'a donnée dans le Tome VI du Journal de VÈcole
Polytechnique, page uo (*).
Réciproquement, si, dans la série exprimée par l'équation (T), on
développe la fonction c selon les puissances de .r, en ordonnant le ré-
sultat par rapport k ces mêmes puissances de x^ les coefficients de ces
( * ) Poisson, Mémoire sur les solutions particulières des équfttions différenùelles et des
équations aiuc différences. Lu à l'Institut le 23 floréal, an XHI. — Journal de l'École P le résultat est Yix).
422.
Nous ferons aussi remarquer que l'on peut déduire de l'équation (B)
une expression très simple du coefficient différentiel de l'ordre indé-
fini •jTif{^)y ^^ de l'intégrale / f{x)dx\
L'expression cherchée est une certaine fonction de x et de l'in-
dice I. Il s'agit de connaître cette fonction sous une forme telle que le
508 THÉORIE DE LA CHALEUR.
nombre i n'y entre point comme indice, mais comme une quantité,
afin de comprendre dans une même formule tous les cas où Ton
attribue à i des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y
parvenir, nous remarquerons que l'expression
•î)
ITT .171
cosir-hi-) ou cos/cos smrsm —
2 a
devient successivement
— sinr, — cosr, 4-sinr, -hcosr, — sinr, ...,
si les valeurs respectives de i sont i, 2, 3, 4» 5, Les mêmes
résultats reviennent dans le même ordre lorsqu'on augmente la valeur
de i. Il faut maintenant, dans le second membre de l'équation
/(•2') = — / f{^)d(xj cosp{x — est le logarithme
décimal d'une des deux valeurs de w 87
SECTION IL
ÉQLATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE SPHfcRB SOLIDE.
111-113. X désignant le rayon d'une couche quelconque, le mouvement de la chaleur
dans la sphère est exprimé par l'équation
Ot ~ CD \dxi "
il i-1 17. Conditions relatives à l'état de la surface et à Tétat initial du solide 9*;^
"" " X ôx) ^^
SECTION III.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE SOLIDE.
1 18-120. Les températures de ce solide sont déterminées par trois équations : Tune
se rapporte aux températures intérieures; la seconde exprime l'état con-
tinuel de la surface; la troisième exprime l'état initial du solide 95
548 TABLE DES MATIÈRES.
SECTION IV.
ÉQUATION DU MOUVEMENT UNIFORME DE LA CHALEUR DANS UN PRISME SOLIDE
d'une LONGt*EUR INFINIE.
Articles Page*
421-123. Le système des températures fixes satisfait à Féquation
d^v d^v d^i^
d.i'^ ôj^ ôz^ '
V est la température d'un point dont les coordonnées sont -r^x, z 98
424-125. Équation relative à l'état de la surface et à c^lui de la première tranche. . . 10 1
SECTION V.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDE.
126-131. Le système des températures variables est déterminé par trois équations :
Tune exprime l'état intérieur; la seconde se rapporte à l'état de la sur-
face, et la troisième exprime l'état initial i<>3
SECTION VI.
ÉQUATION GÉNÉRALE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS L^NTÉRIEUR DES SOLIDES.
132-139. Démonstration élémentaire des propriétés du mouvement uniforme de la cha-
leur dans un solide compris entre six plans rectangulaires, les tempéra-
tures constantes étant exprimées par l'équation linéaire
V = A — ajc — bjr — cz.
Les températures no peuvent changer, parce que chaque point du solide
reçoit autant de chaleur qu'il en donne. La quantité de chaleur qui tra-
verse, durant l'unité de temps, un plan perpendiculaire à l'axe des z est
la môme en quelque point de cet axe que passe le plan. — La valeur
. de ce flux commun est celle qui aurait lieu si les coefficients a et ^
étaient nuls * 107
140-141. Expression analytique du flux dans l'intérieur d'un solide quelconque. L'é-
quation des températures étant
la fonction — Kw — rfr exprime la quantité do chaleur qui traverse, pen-
oz
dant l'instant dt^ une aire infiniment petite co perpendiculaire à l'axe
des 3, au point dont les coordonnées sont .r, jT; 2 et dont ia température
est V après le temps écoulé / 114
CHAPITRE II. 349
Article» Pbkcs
142-145. Il est facile do déduire du théorème précédent l'équation générale du mou-
vement de la chaleur, qui est
àv _ K^ /ù^v d^v d2v
dt ~ CD \ôx^ '^ dj'^'^ d:.
(AEi îir = Jl f — ^ — ^g) n8
SECTION VII.
ÉQUATlOrt GÉNÉRALE RELATIVE A LA SURFACE.
146-154. On démontre que les températures variables des points de la surface d'un
corps qui se refroidit dans Tair satisfont à cette équation
f)v di> di' h
mdx-hndjr-^pdz = o étant Téquation différentielle de la surface qui
t
termine le solide, et q étant égale 5 (/n* -4- w'^-/?* )*. Pour découvrir cette
équation, on considère une molécule de Tenveloppe qui termine le solide,
et l'on exprime que la température de cet élément ne change point d'une
grandeur unie pendant un instant infiniment petit. Celte condition a lieu
et continue de subsister après que l'action régulière du milieu s'est exercée
pendant un instant très petit. — On peut donner à l'élément de l'enve-
loppe une forme quelconque. Le cas où cette molécule est formée par des
sections rectangulaires offre des propriétés remarquables. Dans le cas le
plus simple, qui est celui où la base est parallèle au plan tangent, la vé-
rité de l'équation est évidente 122
SECTION VIII.
APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES.
155-156. En appliquant l'équation générale (E) au cas du cylindre et de la sphère,
on trouve les mêmes équations que celles de la Section III et de la Sec-
tion Il de ce Chapitre i33
SECTION IX.
REMARQUES GÉNÉRALES.
157-162. Considérations fondamentales sur la nature des quantités x, r, v^ K, /i, C, D
qui entrent dans toutes les expressions analytiques de la théorie de la
chaleur. Chacune de ces quantités a un exposant de dimension qui se
rapporte, ou à la longueur, ou à la durée, ou à la température; on trouve
ces exposants en faisant varier les unités de mesure i35
550 TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE m.
PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI,
SECTION I.
BXPOSITION DB LÀ QOBSTION.
Arlicle.